Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1 - 2 x}{3 + x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 - 2 x$ et $g (x) = 3 + x$ .

$\frac{(3 + x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{(3 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(3 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{(3 + x) \frac{d}{d x} [- 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 + x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 + x) (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{(3 + x) \cdot - 2 - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $3 + x$ .

$\frac{- 2 \cdot (3 + x) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 2 (3 + x) - (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{- 2 (3 + x) - (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 2.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 2 (3 + x) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{- 2 (3 + x) - (1 - 2 x) \cdot 1}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 2.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 2 (3 + x) - (1 - 2 x)}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \cdot 3 - 2 x - (1 - 2 x)}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 \cdot 3 - 2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{- 6 - 2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 6 - 2 x - 1 - (- 2 x)}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 - 2 x - 1 + 2 x}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Associez les termes opposés dans $- 6 - 2 x - 1 + 2 x$ .

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Étape 3.3.2.1

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{- 6 + 0 - 1}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 6$ et $0$ .

$\frac{- 6 - 1}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Soustrayez $1$ de $- 6$ .

$\frac{- 7}{{(3 + x)}^{2}}$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7}{{(3 + x)}^{2}}$