Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}]$ comme $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \sqrt[3]{x}}]$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{x^{3} x}}]$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \sqrt[3]{x}}]$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 3

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{1 + \frac{1}{3}}}]$

Étape 3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}]$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3 + 1}{3}}}]$

Étape 3.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

Étape 4.2.2

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.2.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4}{3}}]$

Étape 4.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3}}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1}$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 3}{3}}$

Étape 9.2

Soustrayez $3$ de $- 4$ .

$- \frac{4}{3} x^{\frac{- 7}{3}}$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{3} x^{- \frac{7}{3}}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$

Étape 11.2

Associez des termes.

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Étape 11.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$ par $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{x^{\frac{7}{3}} \cdot 3}$

Étape 11.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{7}{3}}$ .

$- \frac{4}{3 x^{\frac{7}{3}}}$