Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{1 + e^{x}}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{1 + e^{x}}$ comme ${(1 + e^{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + e^{x})}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 1 + e^{x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + e^{x}$ .

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} e^{x}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(1 + e^{x})}^{2}} e^{x}$

Étape 5.2

Associez $e^{x}$ et $\frac{1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ .

$- \frac{e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$