Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{3} - 6}{x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3} - 6$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 6] - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 6] - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 6] - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} \cdot 3 - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2 + 2} \cdot 3 - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{x^{4} \cdot 3 - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4

Déplacez $3$ à gauche de $x^{4}$ .

$\frac{3 \cdot x^{4} - (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 x^{4} - (x^{3} - 6) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 (x^{3} - 6) x}{x^{4}}$

Étape 6.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{4} - 2 (x^{3} - 6) x$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{4}$ .

$\frac{x (3 x^{3}) - 2 (x^{3} - 6) x}{x^{4}}$

Étape 6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 (x^{3} - 6) x$ .

$\frac{x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 6))}{x^{4}}$

Étape 6.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 6))$ .

$\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 6))}{x^{4}}$

Étape 7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 6))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 6))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{3} - 2 (x^{3} - 6)}{x^{3}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 6}{x^{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{3} + 12}{x^{3}}$

Étape 8.2.2

Soustrayez $2 x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 12}{x^{3}}$