Calcul infinitésimal Exemples

$3 t e^{- t}$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t e^{- t}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t e^{- t}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = e^{- t}$ .

$3 (t \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - t$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- t$ .

$3 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- t$ .

$3 (t (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 (t (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (t (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 (t (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- t}$ .

$3 (t (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- t}$ comme $- e^{- t}$ .

$3 (t (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (t (- e^{- t}) + e^{- t} \cdot 1)$

Étape 4.5

Multipliez $e^{- t}$ par $1$ .

$3 (t (- e^{- t}) + e^{- t})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (t (- e^{- t})) + 3 e^{- t}$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 t e^{- t} + 3 e^{- t}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 e^{- t} t + 3 e^{- t}$

Étape 5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 3 e^{- t} t + 3 e^{- t}$ .

$- 3 t e^{- t} + 3 e^{- t}$