Calcul infinitésimal Exemples

$2 {(t^{2} + 11 t)}^{- 7}$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 {(t^{2} + 11 t)}^{- 7}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 11 t)}^{- 7}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 11 t)}^{- 7}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 7}$ et $g (t) = t^{2} + 11 t$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{2} + 11 t$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 7}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 7$ .

$2 (- 7 u^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2} + 11 t$ .

$2 (- 7 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$- 14 ({(t^{2} + 11 t)}^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 11 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [11 t]$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [11 t])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + \frac{d}{d t} [11 t])$

Étape 3.4

Comme $11$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $11 t$ par rapport à $t$ est $11 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11 \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11 \cdot 1)$

Étape 3.6

Multipliez $11$ par $1$ .

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 14 \frac{1}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 14$ et $\frac{1}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$ .

$\frac{- 14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $- \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$ .

$- (2 t + 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$(- (2 t) - 1 \cdot 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Étape 4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- 2 t - 1 \cdot 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Étape 4.6

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

Étape 4.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.7.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2} + 11 t$ .

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Étape 4.7.1.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t \cdot t + 11 t)}^{8}}$

Étape 4.7.1.2

Factorisez $t$ à partir de $11 t$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t \cdot t + t \cdot 11)}^{8}}$

Étape 4.7.1.3

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot t + t \cdot 11$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t (t + 11))}^{8}}$

Étape 4.7.2

Appliquez la règle de produit à $t (t + 11)$ .

$(- 2 t - 11) \frac{14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Étape 4.8

Multipliez $- 2 t - 11$ par $\frac{14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$ .

$\frac{(- 2 t - 11) \cdot 14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Étape 4.9

Déplacez $14$ à gauche de $- 2 t - 11$ .

$\frac{14 \cdot (- 2 t - 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Étape 4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 t$ .

$\frac{14 (- (2 t) - 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Étape 4.11

Réécrivez $- 11$ comme $- 1 (11)$ .

$\frac{14 (- (2 t) - 1 (11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Étape 4.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 t) - 1 (11)$ .

$\frac{14 (- (2 t + 11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Étape 4.13

Réécrivez $- (2 t + 11)$ comme $- 1 (2 t + 11)$ .

$\frac{14 (- 1 (2 t + 11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

Étape 4.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{14 (2 t + 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$