Calcul infinitésimal Exemples

$2 t^{3} + 6 t - \frac{4}{t^{2}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t^{3} + 6 t - \frac{4}{t^{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t^{3}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [6 t]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $6 t$ par rapport à $t$ est $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 t^{2} + 6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 t^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Étape 3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 t^{2} + 6 + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{4}{t^{2}}$ par rapport à $t$ est $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{1}{t^{2}}$ comme ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = t^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{2}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))$

Étape 4.5

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- t^{- 4} (2 t))$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{- 4} t)$

Étape 4.7

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))$

Étape 4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{1 - 4})$

Étape 4.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{- 3})$

Étape 4.10

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$6 t^{2} + 6 + 8 t^{- 3}$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 t^{2} + 6 + 8 \frac{1}{t^{3}}$

Étape 5.2

Associez $8$ et $\frac{1}{t^{3}}$ .

$6 t^{2} + 6 + \frac{8}{t^{3}}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 t^{2} + \frac{8}{t^{3}} + 6$