Calcul infinitésimal Exemples

$g (t) = \frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{3}}$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Réécrivez $\frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{3}}$ comme ${({(t^{4} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [{({(t^{4} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${({(t^{4} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [{(t^{4} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Étape 1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d t} [{(t^{4} + 1)}^{- 3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 3}$ et $g (t) = t^{4} + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [t^{4} + 1]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{4} + 1$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d t} [t^{4} + 1]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{4} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (4 t^{3} + 0)$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $4 t^{3}$ et $0$ .

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (4 t^{3})$

Étape 3.4.2

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$- 12 {(t^{4} + 1)}^{- 4} t^{3}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{4}} t^{3}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 12$ et $\frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{- 12}{{(t^{4} + 1)}^{4}} t^{3}$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12}{{(t^{4} + 1)}^{4}} t^{3}$

Étape 4.2.3

Associez $t^{3}$ et $\frac{12}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$ .

$- \frac{t^{3} \cdot 12}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$

Étape 4.2.4

Déplacez $12$ à gauche de $t^{3}$ .

$- \frac{12 t^{3}}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$