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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est où et .
Étape 3
Étape 3.1
Multipliez les exposants dans .
Étape 3.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 3.1.2
Multipliez par .
Étape 3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.3
Déplacez à gauche de .
Étape 4
Étape 4.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 5
Étape 5.1
Multipliez par .
Étape 5.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5.5
Associez et .
Étape 6
Étape 6.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2
Simplifiez le numérateur.
Étape 6.2.1
Utilisez le théorème du binôme.
Étape 6.2.2
Simplifiez chaque terme.
Étape 6.2.2.1
Multipliez les exposants dans .
Étape 6.2.2.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 6.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 6.2.2.2
Multipliez les exposants dans .
Étape 6.2.2.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 6.2.2.2.2
Multipliez par .
Étape 6.2.2.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 6.2.2.3.1
Déplacez .
Étape 6.2.2.3.2
Multipliez par .
Étape 6.2.2.3.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.2.3.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.2.3.3
Additionnez et .
Étape 6.2.2.4
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 6.2.2.4.1
Déplacez .
Étape 6.2.2.4.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.2.4.3
Additionnez et .
Étape 6.2.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2.4
Simplifiez
Étape 6.2.4.1
Multipliez par .
Étape 6.2.4.2
Multipliez par .
Étape 6.2.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2.6
Simplifiez
Étape 6.2.6.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 6.2.6.1.1
Déplacez .
Étape 6.2.6.1.2
Multipliez par .
Étape 6.2.6.1.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.6.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.6.1.3
Additionnez et .
Étape 6.2.6.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 6.2.6.2.1
Déplacez .
Étape 6.2.6.2.2
Multipliez par .
Étape 6.2.6.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.6.2.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.6.2.3
Additionnez et .
Étape 6.2.6.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 6.2.6.3.1
Déplacez .
Étape 6.2.6.3.2
Multipliez par .
Étape 6.2.6.3.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.6.3.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.6.3.3
Additionnez et .
Étape 6.2.6.4
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 6.2.6.4.1
Déplacez .
Étape 6.2.6.4.2
Multipliez par .
Étape 6.2.6.4.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.6.4.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.6.4.3
Additionnez et .
Étape 6.2.7
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2.8
Simplifiez
Étape 6.2.8.1
Multipliez par .
Étape 6.2.8.2
Multipliez par .
Étape 6.2.8.3
Multipliez par .
Étape 6.2.8.4
Multipliez par .
Étape 6.2.9
Réécrivez comme .
Étape 6.2.10
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 6.2.10.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2.10.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2.10.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2.11
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 6.2.11.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 6.2.11.1.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 6.2.11.1.1.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.11.1.1.2
Additionnez et .
Étape 6.2.11.1.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 6.2.11.1.2.1
Multipliez par .
Étape 6.2.11.1.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.11.1.2.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.11.1.2.2
Additionnez et .
Étape 6.2.11.1.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 6.2.11.1.3.1
Multipliez par .
Étape 6.2.11.1.3.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.11.1.3.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.11.1.3.2
Additionnez et .
Étape 6.2.11.1.4
Multipliez par .
Étape 6.2.11.2
Additionnez et .
Étape 6.2.12
Développez en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.
Étape 6.2.13
Simplifiez chaque terme.
Étape 6.2.13.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 6.2.13.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 6.2.13.2.1
Déplacez .
Étape 6.2.13.2.2
Multipliez par .
Étape 6.2.13.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.13.2.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.13.2.3
Additionnez et .
Étape 6.2.13.3
Multipliez par .
Étape 6.2.13.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 6.2.13.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 6.2.13.5.1
Déplacez .
Étape 6.2.13.5.2
Multipliez par .
Étape 6.2.13.5.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.13.5.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.13.5.3
Additionnez et .
Étape 6.2.13.6
Multipliez par .
Étape 6.2.13.7
Multipliez par .
Étape 6.2.13.8
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 6.2.13.9
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 6.2.13.9.1
Déplacez .
Étape 6.2.13.9.2
Multipliez par .
Étape 6.2.13.9.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.13.9.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.13.9.3
Additionnez et .
Étape 6.2.13.10
Multipliez par .
Étape 6.2.14
Additionnez et .
Étape 6.2.15
Additionnez et .
Étape 6.2.16
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2.17
Simplifiez
Étape 6.2.17.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 6.2.17.2
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 6.2.17.3
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 6.2.17.4
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 6.2.17.4.1
Déplacez .
Étape 6.2.17.4.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.17.4.3
Additionnez et .
Étape 6.2.18
Simplifiez chaque terme.
Étape 6.2.18.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 6.2.18.1.1
Déplacez .
Étape 6.2.18.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.18.1.3
Additionnez et .
Étape 6.2.18.2
Multipliez par .
Étape 6.2.18.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 6.2.18.3.1
Déplacez .
Étape 6.2.18.3.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.18.3.3
Additionnez et .
Étape 6.2.18.4
Multipliez par .
Étape 6.2.18.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 6.2.18.5.1
Déplacez .
Étape 6.2.18.5.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.18.5.3
Additionnez et .
Étape 6.2.18.6
Multipliez par .
Étape 6.2.19
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2.20
Simplifiez
Étape 6.2.20.1
Multipliez par .
Étape 6.2.20.2
Multipliez par .
Étape 6.2.20.3
Multipliez par .
Étape 6.2.20.4
Multipliez par .
Étape 6.2.21
Soustrayez de .
Étape 6.2.22
Soustrayez de .
Étape 6.2.23
Soustrayez de .
Étape 6.2.24
Soustrayez de .
Étape 6.2.25
Réécrivez en forme factorisée.
Étape 6.2.25.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.25.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.25.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.25.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.25.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.25.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.25.1.6
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.25.1.7
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.25.2
Factorisez en utilisant le test des racines rationnelles.
Étape 6.2.25.2.1
Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme où est un facteur de la constante et est un facteur du coefficient directeur.
Étape 6.2.25.2.2
Déterminez chaque combinaison de . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.
Étape 6.2.25.2.3
Remplacez et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à donc est une racine du polynôme.
Étape 6.2.25.2.3.1
Remplacez dans le polynôme.
Étape 6.2.25.2.3.2
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.25.2.3.3
Multipliez par .
Étape 6.2.25.2.3.4
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.25.2.3.5
Multipliez par .
Étape 6.2.25.2.3.6
Soustrayez de .
Étape 6.2.25.2.3.7
Multipliez par .
Étape 6.2.25.2.3.8
Additionnez et .
Étape 6.2.25.2.3.9
Soustrayez de .
Étape 6.2.25.2.4
Comme est une racine connue, divisez le polynôme par pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.
Étape 6.2.25.2.5
Divisez par .
Étape 6.2.25.2.5.1
Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de .
+ | - | - | - | - |
Étape 6.2.25.2.5.2
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
- | |||||||||||
+ | - | - | - | - |
Étape 6.2.25.2.5.3
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
- | |||||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
- | - |
Étape 6.2.25.2.5.4
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
- | |||||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + |
Étape 6.2.25.2.5.5
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
- | |||||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- |
Étape 6.2.25.2.5.6
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
- | |||||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - |
Étape 6.2.25.2.5.7
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
- | - | ||||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - |
Étape 6.2.25.2.5.8
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
- | - | ||||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - |
Étape 6.2.25.2.5.9
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
- | - | ||||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + |
Étape 6.2.25.2.5.10
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
- | - | ||||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- |
Étape 6.2.25.2.5.11
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
- | - | ||||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - |
Étape 6.2.25.2.5.12
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
- | - | - | |||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - |
Étape 6.2.25.2.5.13
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
- | - | - | |||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
- | - |
Étape 6.2.25.2.5.14
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
- | - | - | |||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + |
Étape 6.2.25.2.5.15
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
- | - | - | |||||||||
+ | - | - | - | - | |||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
- | - | ||||||||||
+ | + | ||||||||||
Étape 6.2.25.2.5.16
Comme le reste est , la réponse finale est le quotient.
Étape 6.2.25.2.6
Écrivez comme un ensemble de facteurs.
Étape 6.2.25.3
Factorisez par regroupement.
Étape 6.2.25.4
Associez les exposants.
Étape 6.2.25.4.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.25.4.2
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.25.4.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.25.4.4
Additionnez et .
Étape 6.3
Simplifiez le dénominateur.
Étape 6.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.3.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.3.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 6.3.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 6.3.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 6.3.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 6.4
Annulez le facteur commun à et .
Étape 6.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.4.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 6.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 6.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 6.5
Annulez le facteur commun à et .
Étape 6.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.5.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 6.5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.5.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 6.5.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 6.6
Factorisez à partir de .
Étape 6.7
Réécrivez comme .
Étape 6.8
Factorisez à partir de .
Étape 6.9
Réécrivez comme .
Étape 6.10
Placez le signe moins devant la fraction.