Calcul infinitésimal Exemples

Encontre a Derivada - d/du (10u^2)/((u^2+u)^3)
Étape 1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2
Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que est et .
Étape 3
Différenciez en utilisant la règle de puissance.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 3.1.2
Multipliez par .
Étape 3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 3.3
Déplacez à gauche de .
Étape 4
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 5
Différenciez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Multipliez par .
Étape 5.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 5.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 5.5
Associez et .
Étape 6
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.1
Utilisez le théorème du binôme.
Étape 6.2.2
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.1
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 6.2.2.1.2
Multipliez par .
Étape 6.2.2.2
Multipliez les exposants dans .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 6.2.2.2.2
Multipliez par .
Étape 6.2.2.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.3.1
Déplacez .
Étape 6.2.2.3.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.3.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.2.3.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.2.3.3
Additionnez et .
Étape 6.2.2.4
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.2.4.1
Déplacez .
Étape 6.2.2.4.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.2.4.3
Additionnez et .
Étape 6.2.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2.4
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.4.1
Multipliez par .
Étape 6.2.4.2
Multipliez par .
Étape 6.2.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2.6
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.6.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.6.1.1
Déplacez .
Étape 6.2.6.1.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.6.1.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.6.1.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.6.1.3
Additionnez et .
Étape 6.2.6.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.6.2.1
Déplacez .
Étape 6.2.6.2.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.6.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.6.2.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.6.2.3
Additionnez et .
Étape 6.2.6.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.6.3.1
Déplacez .
Étape 6.2.6.3.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.6.3.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.6.3.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.6.3.3
Additionnez et .
Étape 6.2.6.4
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.6.4.1
Déplacez .
Étape 6.2.6.4.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.6.4.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.6.4.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.6.4.3
Additionnez et .
Étape 6.2.7
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2.8
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.8.1
Multipliez par .
Étape 6.2.8.2
Multipliez par .
Étape 6.2.8.3
Multipliez par .
Étape 6.2.8.4
Multipliez par .
Étape 6.2.9
Réécrivez comme .
Étape 6.2.10
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.10.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2.10.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2.10.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2.11
Simplifiez et associez les termes similaires.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.11.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.11.1.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.11.1.1.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.11.1.1.2
Additionnez et .
Étape 6.2.11.1.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.11.1.2.1
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.11.1.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.11.1.2.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.11.1.2.2
Additionnez et .
Étape 6.2.11.1.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.11.1.3.1
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.11.1.3.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.11.1.3.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.11.1.3.2
Additionnez et .
Étape 6.2.11.1.4
Multipliez par .
Étape 6.2.11.2
Additionnez et .
Étape 6.2.12
Développez en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.
Étape 6.2.13
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.13.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 6.2.13.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.13.2.1
Déplacez .
Étape 6.2.13.2.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.13.2.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.13.2.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.13.2.3
Additionnez et .
Étape 6.2.13.3
Multipliez par .
Étape 6.2.13.4
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 6.2.13.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.13.5.1
Déplacez .
Étape 6.2.13.5.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.13.5.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.13.5.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.13.5.3
Additionnez et .
Étape 6.2.13.6
Multipliez par .
Étape 6.2.13.7
Multipliez par .
Étape 6.2.13.8
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 6.2.13.9
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.13.9.1
Déplacez .
Étape 6.2.13.9.2
Multipliez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.13.9.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.13.9.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.13.9.3
Additionnez et .
Étape 6.2.13.10
Multipliez par .
Étape 6.2.14
Additionnez et .
Étape 6.2.15
Additionnez et .
Étape 6.2.16
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2.17
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.17.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 6.2.17.2
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 6.2.17.3
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 6.2.17.4
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.17.4.1
Déplacez .
Étape 6.2.17.4.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.17.4.3
Additionnez et .
Étape 6.2.18
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.18.1
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.18.1.1
Déplacez .
Étape 6.2.18.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.18.1.3
Additionnez et .
Étape 6.2.18.2
Multipliez par .
Étape 6.2.18.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.18.3.1
Déplacez .
Étape 6.2.18.3.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.18.3.3
Additionnez et .
Étape 6.2.18.4
Multipliez par .
Étape 6.2.18.5
Multipliez par en additionnant les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.18.5.1
Déplacez .
Étape 6.2.18.5.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.18.5.3
Additionnez et .
Étape 6.2.18.6
Multipliez par .
Étape 6.2.19
Appliquez la propriété distributive.
Étape 6.2.20
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.20.1
Multipliez par .
Étape 6.2.20.2
Multipliez par .
Étape 6.2.20.3
Multipliez par .
Étape 6.2.20.4
Multipliez par .
Étape 6.2.21
Soustrayez de .
Étape 6.2.22
Soustrayez de .
Étape 6.2.23
Soustrayez de .
Étape 6.2.24
Soustrayez de .
Étape 6.2.25
Réécrivez en forme factorisée.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.25.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.25.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.25.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.25.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.25.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.25.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.25.1.6
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.25.1.7
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.25.2
Factorisez en utilisant le test des racines rationnelles.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.25.2.1
Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme est un facteur de la constante et est un facteur du coefficient directeur.
Étape 6.2.25.2.2
Déterminez chaque combinaison de . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.
Étape 6.2.25.2.3
Remplacez et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à donc est une racine du polynôme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.25.2.3.1
Remplacez dans le polynôme.
Étape 6.2.25.2.3.2
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.25.2.3.3
Multipliez par .
Étape 6.2.25.2.3.4
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.25.2.3.5
Multipliez par .
Étape 6.2.25.2.3.6
Soustrayez de .
Étape 6.2.25.2.3.7
Multipliez par .
Étape 6.2.25.2.3.8
Additionnez et .
Étape 6.2.25.2.3.9
Soustrayez de .
Étape 6.2.25.2.4
Comme est une racine connue, divisez le polynôme par pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.
Étape 6.2.25.2.5
Divisez par .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.25.2.5.1
Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de .
+----
Étape 6.2.25.2.5.2
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
-
+----
Étape 6.2.25.2.5.3
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
-
+----
--
Étape 6.2.25.2.5.4
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
-
+----
++
Étape 6.2.25.2.5.5
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
-
+----
++
-
Étape 6.2.25.2.5.6
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
-
+----
++
--
Étape 6.2.25.2.5.7
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
--
+----
++
--
Étape 6.2.25.2.5.8
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
--
+----
++
--
--
Étape 6.2.25.2.5.9
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
--
+----
++
--
++
Étape 6.2.25.2.5.10
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
--
+----
++
--
++
-
Étape 6.2.25.2.5.11
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
--
+----
++
--
++
--
Étape 6.2.25.2.5.12
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
---
+----
++
--
++
--
Étape 6.2.25.2.5.13
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
---
+----
++
--
++
--
--
Étape 6.2.25.2.5.14
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
---
+----
++
--
++
--
++
Étape 6.2.25.2.5.15
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
---
+----
++
--
++
--
++
Étape 6.2.25.2.5.16
Comme le reste est , la réponse finale est le quotient.
Étape 6.2.25.2.6
Écrivez comme un ensemble de facteurs.
Étape 6.2.25.3
Factorisez par regroupement.
Étape 6.2.25.4
Associez les exposants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.2.25.4.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.25.4.2
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.25.4.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.2.25.4.4
Additionnez et .
Étape 6.3
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.1
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.3.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 6.3.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 6.3.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 6.3.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 6.4
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.4.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 6.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 6.5
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.5.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.5.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 6.5.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 6.6
Factorisez à partir de .
Étape 6.7
Réécrivez comme .
Étape 6.8
Factorisez à partir de .
Étape 6.9
Réécrivez comme .
Étape 6.10
Placez le signe moins devant la fraction.