Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{2 u} - e^{- 2 u}}{e^{2 u} + e^{- 2 u}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ est $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ où $f (u) = e^{2 u} - e^{- 2 u}$ et $g (u) = e^{2 u} + e^{- 2 u}$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} - e^{- 2 u}] - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{2 u} - e^{- 2 u}$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [e^{2 u}] + \frac{d}{d u} [- e^{- 2 u}]$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (\frac{d}{d u} [e^{2 u}] + \frac{d}{d u} [- e^{- 2 u}]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ est $f' (g (u)) g' (u)$ où $f (u) = e^{u}$ et $g (u) = 2 u$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 u$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [2 u] + \frac{d}{d u} [- e^{- 2 u}]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [2 u] + \frac{d}{d u} [- e^{- 2 u}]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 u$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (e^{2 u} \frac{d}{d u} [2 u] + \frac{d}{d u} [- e^{- 2 u}]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $2 u$ par rapport à $u$ est $2 \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (e^{2 u} (2 \frac{d}{d u} [u]) + \frac{d}{d u} [- e^{- 2 u}]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (e^{2 u} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d u} [- e^{- 2 u}]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (e^{2 u} \cdot 2 + \frac{d}{d u} [- e^{- 2 u}]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 4.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 u}$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 \cdot e^{2 u} + \frac{d}{d u} [- e^{- 2 u}]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $- e^{- 2 u}$ par rapport à $u$ est $- \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}]$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ est $f' (g (u)) g' (u)$ où $f (u) = e^{u}$ et $g (u) = - 2 u$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 2 u$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d u} [- 2 u])) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d u} [- 2 u])) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 2 u$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - (e^{- 2 u} \frac{d}{d u} [- 2 u])) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $- 2 u$ par rapport à $u$ est $- 2 \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - e^{- 2 u} (- 2 \frac{d}{d u} [u])) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 6.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u} \frac{d}{d u} [u]) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u} \cdot 1) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 6.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u} + e^{- 2 u}]}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 6.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{2 u} + e^{- 2 u}$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [e^{2 u}] + \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}]$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (\frac{d}{d u} [e^{2 u}] + \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ est $f' (g (u)) g' (u)$ où $f (u) = e^{u}$ et $g (u) = 2 u$ .

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Étape 7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $2 u$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d u} [2 u] + \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d u} [2 u] + \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 u$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (e^{2 u} \frac{d}{d u} [2 u] + \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 8

Différenciez.

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Étape 8.1

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $2 u$ par rapport à $u$ est $2 \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (e^{2 u} (2 \frac{d}{d u} [u]) + \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (e^{2 u} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (e^{2 u} \cdot 2 + \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 8.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 u}$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (2 \cdot e^{2 u} + \frac{d}{d u} [e^{- 2 u}])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ est $f' (g (u)) g' (u)$ où $f (u) = e^{u}$ et $g (u) = - 2 u$ .

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Étape 9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $- 2 u$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + \frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d u} [- 2 u])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 9.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ est $a^{u_{4}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + e^{u_{4}} \frac{d}{d u} [- 2 u])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $- 2 u$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + e^{- 2 u} \frac{d}{d u} [- 2 u])}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 10

Différenciez.

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Étape 10.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $- 2 u$ par rapport à $u$ est $- 2 \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + e^{- 2 u} (- 2 \frac{d}{d u} [u]))}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + e^{- 2 u} (- 2 \cdot 1))}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 10.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + e^{- 2 u} \cdot - 2)}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 10.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- 2 u}$ .

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) - (e^{2 u} - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 \cdot e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Développez $(e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{2 u} (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{2 u} (2 e^{2 u}) + e^{2 u} (2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u} + 2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{2 u} (2 e^{2 u}) + e^{2 u} (2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 e^{2 u} e^{2 u} + e^{2 u} (2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.1.2

Multipliez $e^{2 u}$ par $e^{2 u}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.1.2.1.2.1

Déplacez $e^{2 u}$ .

$\frac{2 (e^{2 u} e^{2 u}) + e^{2 u} (2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 e^{2 u + 2 u} + e^{2 u} (2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.1.2.3

Additionnez $2 u$ et $2 u$ .

$\frac{2 e^{4 u} + e^{2 u} (2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 e^{4 u} + 2 e^{2 u} e^{- 2 u} + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.1.4

Multipliez $e^{2 u}$ par $e^{- 2 u}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.1.2.1.4.1

Déplacez $e^{- 2 u}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 2 (e^{- 2 u} e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 e^{4 u} + 2 e^{- 2 u + 2 u} + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.1.4.3

Additionnez $- 2 u$ et $2 u$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 2 e^{0} + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.1.5

Simplifiez $2 e^{0}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + 2 e^{- 2 u} e^{2 u} + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.1.7

Multipliez $e^{- 2 u}$ par $e^{2 u}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.1.2.1.7.1

Déplacez $e^{2 u}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + 2 (e^{2 u} e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.1.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + 2 e^{2 u - 2 u} + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.1.7.3

Soustrayez $2 u$ de $2 u$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + 2 e^{0} + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.1.8

Simplifiez $2 e^{0}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + 2 + e^{- 2 u} (2 e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.1.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + 2 + 2 e^{- 2 u} e^{- 2 u} + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.1.10

Multipliez $e^{- 2 u}$ par $e^{- 2 u}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.1.2.1.10.1

Déplacez $e^{- 2 u}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + 2 + 2 (e^{- 2 u} e^{- 2 u}) + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.1.10.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + 2 + 2 e^{- 2 u - 2 u} + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.1.10.3

Soustrayez $2 u$ de $- 2 u$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 2 + 2 + 2 e^{- 4 u} + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} + (- e^{2 u} - - e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- - e^{- 2 u}$ .

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Étape 11.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} + (- e^{2 u} + 1 e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.3.2

Multipliez $e^{- 2 u}$ par $1$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} + (- e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.4

Développez $(- e^{2 u} + e^{- 2 u}) (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - e^{2 u} (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - e^{2 u} (2 e^{2 u}) - e^{2 u} (- 2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u} - 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - e^{2 u} (2 e^{2 u}) - e^{2 u} (- 2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.2.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 1 \cdot 2 e^{2 u} e^{2 u} - e^{2 u} (- 2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.2

Multipliez $e^{2 u}$ par $e^{2 u}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.1.5.1.2.1

Déplacez $e^{2 u}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 1 \cdot 2 (e^{2 u} e^{2 u}) - e^{2 u} (- 2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 1 \cdot 2 e^{2 u + 2 u} - e^{2 u} (- 2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.2.3

Additionnez $2 u$ et $2 u$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 1 \cdot 2 e^{4 u} - e^{2 u} (- 2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} - e^{2 u} (- 2 e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} - 1 \cdot - 2 e^{2 u} e^{- 2 u} + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.5

Multipliez $e^{2 u}$ par $e^{- 2 u}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.1.5.1.5.1

Déplacez $e^{- 2 u}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} - 1 \cdot - 2 (e^{- 2 u} e^{2 u}) + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} - 1 \cdot - 2 e^{- 2 u + 2 u} + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.5.3

Additionnez $- 2 u$ et $2 u$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} - 1 \cdot - 2 e^{0} + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.6

Simplifiez $- 1 \cdot - 2 e^{0}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} - 1 \cdot - 2 + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + e^{- 2 u} (2 e^{2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + 2 e^{- 2 u} e^{2 u} + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.9

Multipliez $e^{- 2 u}$ par $e^{2 u}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.1.5.1.9.1

Déplacez $e^{2 u}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + 2 (e^{2 u} e^{- 2 u}) + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + 2 e^{2 u - 2 u} + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.9.3

Soustrayez $2 u$ de $2 u$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + 2 e^{0} + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.10

Simplifiez $2 e^{0}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + 2 + e^{- 2 u} (- 2 e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + 2 - 2 e^{- 2 u} e^{- 2 u}}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.12

Multipliez $e^{- 2 u}$ par $e^{- 2 u}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.1.5.1.12.1

Déplacez $e^{- 2 u}$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + 2 - 2 (e^{- 2 u} e^{- 2 u})}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + 2 - 2 e^{- 2 u - 2 u}}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.1.12.3

Soustrayez $2 u$ de $- 2 u$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 2 + 2 - 2 e^{- 4 u}}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.1.5.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 4 - 2 e^{- 4 u}}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.2

Associez les termes opposés dans $2 e^{4 u} + 4 + 2 e^{- 4 u} - 2 e^{4 u} + 4 - 2 e^{- 4 u}$ .

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $2 e^{4 u}$ de $2 e^{4 u}$ .

$\frac{4 + 2 e^{- 4 u} + 0 + 4 - 2 e^{- 4 u}}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $4 + 2 e^{- 4 u}$ et $0$ .

$\frac{4 + 2 e^{- 4 u} + 4 - 2 e^{- 4 u}}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.2.3

Soustrayez $2 e^{- 4 u}$ de $2 e^{- 4 u}$ .

$\frac{4 + 0 + 4}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.2.4

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{4 + 4}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$

Étape 11.2.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{8}{{(e^{2 u} + e^{- 2 u})}^{2}}$