Calcul infinitésimal Exemples

$y = t \ln^{2} (8 t)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = \ln^{2} (8 t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (8 t)] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = \ln (8 t)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (8 t)$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (8 t)]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (8 t)]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (8 t)$ .

$t (2 \ln (8 t) \frac{d}{d t} [\ln (8 t)]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = 8 t$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $8 t$ .

$t (2 \ln (8 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [8 t])) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$t (2 \ln (8 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [8 t])) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $8 t$ .

$t (2 \ln (8 t) (\frac{1}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t])) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{8 t}$ et $2$ .

$t (\frac{2}{8 t} \ln (8 t) \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Associez $\frac{2}{8 t}$ et $\ln (8 t)$ .

$t (\frac{2 \ln (8 t)}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \ln (8 t)$ .

$t (\frac{2 (\ln (8 t))}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8 t$ .

$t (\frac{2 (\ln (8 t))}{2 (4 t)} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$t (\frac{2 \ln (8 t)}{2 (4 t)} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$t (\frac{\ln (8 t)}{4 t} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{\ln (8 t)}{4 t}$ et $t$ .

$\frac{\ln (8 t) t}{4 t} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (8 t) t}{4 t} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (8 t)}{4} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.3

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $8 t$ par rapport à $t$ est $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\ln (8 t)}{4} (8 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.4.1

Associez $8$ et $\frac{\ln (8 t)}{4}$ .

$\frac{8 \ln (8 t)}{4} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8 \ln (8 t)$ .

$\frac{4 (2 \ln (8 t))}{4} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (2 \ln (8 t))}{4 (1)} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (2 \ln (8 t))}{4 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \ln (8 t)}{1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.4.2.2.4

Divisez $2 \ln (8 t)$ par $1$ .

$2 \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \ln (8 t) \cdot 1 + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \ln (8 t) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \ln (8 t) + \ln^{2} (8 t) \cdot 1$

Étape 4.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.8.1

Multipliez $\ln^{2} (8 t)$ par $1$ .

$2 \ln (8 t) + \ln^{2} (8 t)$

Étape 4.8.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln^{2} (8 t) + 2 \ln (8 t)$