Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{- u} \cos (u)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ est $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ où $f (u) = e^{- u}$ et $g (u) = \cos (u)$ .

$e^{- u} \frac{d}{d u} [\cos (u)] + \cos (u) \frac{d}{d u} [e^{- u}]$

Étape 2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) \frac{d}{d u} [e^{- u}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ est $f' (g (u)) g' (u)$ où $f (u) = e^{u}$ et $g (u) = - u$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- u$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [- u])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [- u])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- u$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} \frac{d}{d u} [- u])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $- u$ par rapport à $u$ est $- \frac{d}{d u} [u]$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} (- \frac{d}{d u} [u]))$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} (- 1 \cdot 1))$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} \cdot - 1)$

Étape 4.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- u}$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (- 1 \cdot e^{- u})$

Étape 4.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- u}$ comme $- e^{- u}$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (- e^{- u})$

Étape 4.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{- u} \sin (u) - e^{- u} \cos (u)$