Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (\sqrt{3 t})$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 t}$ comme ${(3 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\tan ({(3 t)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [\tan ({(3 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.3

Appliquez la règle de produit à $3 (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \tan (t)$ et $g (t) = 3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $3^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 10

Associez $3^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{3^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 11

Placez $t^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12

Associez $\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ et $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$