Calcul infinitésimal Exemples

$y = (t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t^{3} - 7 t^{2} + 1$ et $g (t) = e^{t}$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [e^{t}] + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{3} - 7 t^{2} + 1]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{3} - 7 t^{2} + 1]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{3} - 7 t^{2} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.3

Comme $- 7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 7 t^{2}$ par rapport à $t$ est $- 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 7 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t + 0)$

Étape 3.7

Additionnez $3 t^{2} - 14 t$ et $0$ .

$(t^{3} - 7 t^{2} + 1) e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + 1 e^{t} + e^{t} (3 t^{2} - 14 t)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + 1 e^{t} + e^{t} (3 t^{2}) + e^{t} (- 14 t)$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Multipliez $e^{t}$ par $1$ .

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + e^{t} + e^{t} (3 t^{2}) + e^{t} (- 14 t)$

Étape 4.3.2

Additionnez $- 7 t^{2} e^{t}$ et $e^{t} (3 t^{2})$ .

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Étape 4.3.2.1

Déplacez $e^{t}$ .

$t^{3} e^{t} - 7 t^{2} e^{t} + 3 t^{2} e^{t} + e^{t} + e^{t} (- 14 t)$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $- 7 t^{2} e^{t}$ et $3 t^{2} e^{t}$ .

$t^{3} e^{t} - 4 t^{2} e^{t} + e^{t} + e^{t} (- 14 t)$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{t} t^{3} - 4 e^{t} t^{2} - 14 e^{t} t + e^{t}$

Étape 4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{t} t^{3} - 4 e^{t} t^{2} - 14 e^{t} t + e^{t}$ .

$t^{3} e^{t} - 4 t^{2} e^{t} - 14 t e^{t} + e^{t}$