Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} - 2 x - 1) (\frac{x + 1}{x + 3})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ et $g (x) = \frac{x + 1}{x + 3}$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x + 3}] + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x + 3$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Étape 3.4.2

Multipliez $x + 3$ par $1$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Étape 3.7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Étape 3.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

Étape 3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.11

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.13

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 + 0)$

Étape 3.15

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - x - 1 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - x - 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

Étape 4.2.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{0 + 3 - 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

Étape 4.2.3

Additionnez $0$ et $3$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{3 - 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

Étape 4.2.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{2}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{2}{{(x + 3)}^{2}} + (2 x - 2) \frac{x + 1}{x + 3}$

Étape 4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1

Multipliez $x^{2} - 2 x - 1$ par $\frac{2}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x - 1) \cdot 2}{{(x + 3)}^{2}} + (2 x - 2) \frac{x + 1}{x + 3}$

Étape 4.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 2 x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + (2 x - 2) \frac{x + 1}{x + 3}$

Étape 4.4.3

Multipliez $2 x - 2$ par $\frac{x + 1}{x + 3}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(2 x - 2) (x + 1)}{x + 3}$

Étape 4.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 2$ .

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Étape 4.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(2 (x) - 2) (x + 1)}{x + 3}$

Étape 4.4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(2 (x) + 2 (- 1)) (x + 1)}{x + 3}$

Étape 4.4.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3}$

Étape 4.5

Pour écrire $\frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Étape 4.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(x + 3)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.6.1

Multipliez $\frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{(x + 3) (x + 3)}$

Étape 4.6.2

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1} (x + 3)}$

Étape 4.6.3

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}}$

Étape 4.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1 + 1}}$

Étape 4.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)$ .

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Étape 4.8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (((x - 1) (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (((x - 1) (x + 1)) (x + 3))$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + ((x - 1) (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.2

Développez $(x - 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x (x + 1) - 1 (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.3

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Étape 4.8.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot 1$ et $- 1 x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.3.2

Soustrayez $1 x$ de $1 x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.3.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.8.4.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x^{2} - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x^{2} - 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.5

Développez $(x^{2} - 1) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.8.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} (x + 3) - 1 (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 1 (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.8.6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.8.6.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.8.6.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.6.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.6.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + 3 \cdot x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.6.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + 3 x^{2} - x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.6.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + 3 x^{2} - x - 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.7

Additionnez $x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} - x - 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.8

Soustrayez $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 3 x - 1 + x^{3} - 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.9

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$\frac{2 (4 x^{2} - 3 x + x^{3} - 4)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 4.8.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 4)}{{(x + 3)}^{2}}$