Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{3} + 1) (3 x^{2} - 4 x + 2)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3} + 1$ et $g (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2] + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 4 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{3} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$(x^{3} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 2.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 2.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4 + 0) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 2.9

Additionnez $6 x - 4$ et $0$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.12

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + 0)$

Étape 2.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.13.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2})$

Étape 2.13.2

Déplacez $3$ à gauche de $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + 3 \cdot (3 x^{2} - 4 x + 2) x^{2}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 (3 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 2) x^{2}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{3} + 1) (6 x) + (x^{3} + 1) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} (6 x) + 1 (6 x) + (x^{3} + 1) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.5

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} (6 x) + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.6

Associez des termes.

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Étape 3.6.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.1.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.6.1.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{4} \cdot 6 + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.6.2

Déplacez $6$ à gauche de $x^{4}$ .

$6 \cdot x^{4} + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.6.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 x^{4} + 6 x + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.6.4

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{3}$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 \cdot x^{3} + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.6.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.6.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.6.7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.6.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{2 + 2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.6.7.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.6.8

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.6.9

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.9.1

Déplacez $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.6.9.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.6.9.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.6.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.6.9.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Étape 3.6.10

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Étape 3.6.11

Additionnez $6 x^{4}$ et $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Étape 3.6.12

Soustrayez $12 x^{3}$ de $- 4 x^{3}$ .

$15 x^{4} + 6 x - 16 x^{3} - 4 + 6 x^{2}$

Étape 3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$15 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x - 4$