Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (\arcsin (\frac{x}{3}))$

Étape 1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (\frac{x}{3})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ . Ainsi, $\cos (\arcsin (\frac{x}{3}))$ est $\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Étape 1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Étape 2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{x}{3}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})}$

Étape 3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}}$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{3 + x}{3}$ par $\frac{3 - x}{3}$ .

$\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

Étape 3.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}}$

Étape 4

Réécrivez $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

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Étape 4.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(3 + x) (3 - x)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

Étape 4.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Étape 4.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

Étape 5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Étape 6

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$