Calcul infinitésimal Exemples

$x^{5} - 16 x = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} - 16 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 16 x = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 16 x$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 16 = 0$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x \cdot - 16$ .

$x (x^{4} - 16) = 0$

Étape 1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 16) = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 4^{2}) = 0$

Étape 1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 4$ .

$x ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4)) = 0$

Étape 1.5

Factorisez.

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Étape 1.5.1

Simplifiez

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Étape 1.5.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x ((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Étape 1.5.1.2

Factorisez.

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Étape 1.5.1.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$x ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Étape 1.5.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Définissez $x^{2} + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{2} + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{2} + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 4$

Étape 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 4.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 4.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 4.2.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 4.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 4.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 2 i, - 2 i, - 2, 2$