Calcul infinitésimal Exemples

$4 \cos^{2} (x) - 9 \cos (x) + 2 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\cos (x)$ par $u$ .

$4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 2 = 8$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 u$ .

$4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $- 1$ plus $- 8$

$4 u^{2} + (- 1 - 8) u + 2 = 0$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 u^{2} - 1 u) - 8 u + 2 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (4 u - 1) - 2 (4 u - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 2) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$(4 \cos (x) - 1) (\cos (x) - 2) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) - 2 = 0$

Étape 3

Définissez $4 \cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $4 \cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $4 \cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 \cos (x) = 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $4 \cos (x) = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 \cos (x) = 1$ par $4$ .

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Étape 3.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.1

Évaluez $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

Étape 3.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Étape 3.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.6.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Étape 3.2.6.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

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Étape 3.2.6.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Étape 3.2.6.2.2

Soustrayez $1.31811607$ de $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Étape 3.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\cos (x) - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\cos (x) - 2$ égal à $0$ .

$\cos (x) - 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\cos (x) - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = 2$

Étape 4.2.2

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $2$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 \cos (x) - 1) (\cos (x) - 2) = 0$ vraie.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , pour tout entier $n$