Calcul infinitésimal Exemples

$x \sqrt{4 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0$

Étape 1

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x \sqrt{2^{2} - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} - \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0$

Étape 1.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} - \frac{x^{2}}{\sqrt{2^{2} - x^{2}}} = 0$

Étape 1.1.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} - \frac{x^{2}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}} = 0$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{x^{2}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ par $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} - (\frac{x^{2}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}) = 0$

Étape 1.1.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.5.1

Multipliez $\frac{x^{2}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ par $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}} = 0$

Étape 1.1.5.2

Élevez $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ à la puissance $1$ .

$x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}} = 0$

Étape 1.1.5.3

Élevez $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ à la puissance $1$ .

$x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} {\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1}} = 0$

Étape 1.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1 + 1}} = 0$

Étape 1.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}} = 0$

Étape 1.1.5.6

Réécrivez ${\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}$ comme $(2 + x) (2 - x)$ .

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Étape 1.1.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ comme ${((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{({((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 0$

Étape 1.1.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 0$

Étape 1.1.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}} = 0$

Étape 1.1.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}} = 0$

Étape 1.1.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{1}} = 0$

Étape 1.1.5.6.5

Simplifiez

$x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.2

Pour écrire $x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)}$ .

$x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.3

Associez $x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ et $\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)}$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} ((2 + x) (2 - x))}{(2 + x) (2 - x)} - \frac{x^{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} ((2 + x) (2 - x)) - x^{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Factorisez $x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ à partir de $x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} ((2 + x) (2 - x)) - x^{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ à partir de $- x^{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} ((2 + x) (2 - x)) + x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (- x)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.5.1.2

Factorisez $x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ à partir de $x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} ((2 + x) (2 - x)) + x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (- x)$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} ((2 + x) (2 - x) - x)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.5.2

Développez $(2 + x) (2 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (2 (2 - x) + x (2 - x) - x)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) - x)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) - x)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) - x)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.5.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) - x)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.5.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) - x)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.5.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (4 - 2 x + 2 x - x \cdot x - x)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.5.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) - x)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.5.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (4 - 2 x + 2 x - x^{2} - x)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.5.3.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (4 + 0 - x^{2} - x)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.5.3.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (4 - x^{2} - x)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (- x^{2} - x + 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (- (x^{2}) - x + 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (- (x^{2}) - (x) + 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (x)$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (- (x^{2} + x) + 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.9

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (- (x^{2} + x) - 1 (- 4))}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (- (x^{2} + x - 4))}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.11

Réécrivez $- (x^{2} + x - 4)$ comme $- 1 (x^{2} + x - 4)$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (- 1 (x^{2} + x - 4))}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}) (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 1.13

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}) (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)}$ .

$- \frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ comme ${((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Développez $(2 + x) (2 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x {(2 (2 - x) + x (2 - x))}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x {(2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x))}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x {(2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{x {(4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{x {(4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 3.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- \frac{x {(4 - 2 x + 2 x + x (- x))}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 3.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{x {(4 - 2 x + 2 x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{x {(4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 3.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \frac{x {(4 - 2 x + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 3.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$- \frac{x {(4 + 0 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 3.2.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$- \frac{x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$

Étape 4

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$(2 + x) (2 - x), 1$

Étape 4.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$(2 + x) (2 - x)$

Étape 5

Multiplier chaque terme dans $- \frac{x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$ par $(2 + x) (2 - x)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} = 0$ par $(2 + x) (2 - x)$ .

$- \frac{x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} ((2 + x) (2 - x)) = 0 ((2 + x) (2 - x))$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $(2 + x) (2 - x)$ .

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Étape 5.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)}$ dans le numérateur.

$\frac{- x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} ((2 + x) (2 - x)) = 0 ((2 + x) (2 - x))$

Étape 5.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4)}{(2 + x) (2 - x)} ((2 + x) (2 - x)) = 0 ((2 + x) (2 - x))$

Étape 5.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4) = 0 ((2 + x) (2 - x))$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((2 + x) (2 - x))$

Étape 5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.3.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- (x^{2} x) {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((2 + x) (2 - x))$

Étape 5.2.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (x^{2} x^{1}) {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((2 + x) (2 - x))$

Étape 5.2.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{2 + 1} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((2 + x) (2 - x))$

Étape 5.2.3.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- x^{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((2 + x) (2 - x))$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.3.2.1

Déplacez $x$ .

$- x^{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (x \cdot x) {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((2 + x) (2 - x))$

Étape 5.2.3.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x^{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0 ((2 + x) (2 - x))$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- x^{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 4 x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 ((2 + x) (2 - x))$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Développez $(2 + x) (2 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 4 x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (2 (2 - x) + x (2 - x))$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 4 x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x))$

Étape 5.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 4 x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))$

Étape 5.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- x^{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 4 x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- x^{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 4 x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x))$

Étape 5.3.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- x^{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 4 x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x))$

Étape 5.3.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x^{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 4 x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (4 - 2 x + 2 x - x \cdot x)$

Étape 5.3.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$- x^{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 4 x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x))$

Étape 5.3.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x^{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 4 x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (4 - 2 x + 2 x - x^{2})$

Étape 5.3.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$- x^{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 4 x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (4 + 0 - x^{2})$

Étape 5.3.2.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$- x^{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 4 x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0 (4 - x^{2})$

Étape 5.3.3

Multipliez $0$ par $4 - x^{2}$ .

$- x^{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 4 x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 6

Résolvez l’équation.

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Étape 6.1

Factorisez $- x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- x^{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 4 x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 6.1.1.1

Remettez dans l’ordre $4$ et $- x^{2}$ .

$- x^{3} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 4 x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 6.1.1.2

Remettez dans l’ordre $4$ et $- x^{2}$ .

$- x^{3} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 4 x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 6.1.1.3

Remettez dans l’ordre $4$ et $- x^{2}$ .

$- x^{3} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 4 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 6.1.2

Factorisez $- x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- x^{3} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x^{2} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 4 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 6.1.3

Factorisez $- x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- x^{2} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + 4 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 6.1.4

Factorisez $- x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $4 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0$

Étape 6.1.5

Factorisez $- x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) - x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x)$ .

$- x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x) - x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 = 0$

Étape 6.1.6

Factorisez $- x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x) - x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4)$ .

$- x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4) = 0$

Étape 6.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} = 0$

$x^{2} + x - 4 = 0$

Étape 6.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.4

Définissez ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ égal à $0$ .

${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Définissez le $- x^{2} + 4$ égal à $0$ .

$- x^{2} + 4 = 0$

Étape 6.4.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.4.2.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 4$

Étape 6.4.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.4.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 6.4.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 6.4.2.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 6.4.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Étape 6.4.2.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 6.4.2.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 6.4.2.2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 6.4.2.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 6.4.2.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.4.2.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 6.4.2.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 6.4.2.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 6.5

Définissez $x^{2} + x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x^{2} + x - 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + x - 4 = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $x^{2} + x - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez

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Étape 6.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Étape 6.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.1.3

Additionnez $1$ et $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Étape 6.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 2, - 2, - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $x \sqrt{4 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0$ vrai.

$x = 0, - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 0, - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Forme décimale :

$x = 0, 1.56155281 \dots$