Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{5^{x^{2}}}{125} = 25^{x}$

Étape 1

Élevez $125$ à la puissance $1$ .

$\frac{5^{x^{2}}}{125^{1}} = 25^{x}$

Étape 2

Placez $125^{1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$5^{x^{2}} \cdot 125^{- 1} = 25^{x}$

Étape 3

Réécrivez $125$ comme $5^{3}$ .

$5^{x^{2}} \cdot {(5^{3})}^{- 1} = 25^{x}$

Étape 4

Multipliez les exposants dans ${(5^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{x^{2}} \cdot 5^{3 \cdot - 1} = 25^{x}$

Étape 4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$5^{x^{2}} \cdot 5^{- 3} = 25^{x}$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5^{x^{2} - 3} = 25^{x}$

Étape 6

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$5^{x^{2} - 3} = 5^{2 x}$

Étape 7

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x^{2} - 3 = 2 x$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 - 2 x = 0$

Étape 8.2

Factorisez $x^{2} - 3 - 2 x$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 8.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Étape 8.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 8.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 8.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 8.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 8.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 8.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 3, - 1$