Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x - 7) + \ln (x + 8) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 7) (x + 8)) = 1$

Étape 1.2

Développez $(x - 7) (x + 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x (x + 8) - 7 (x + 8)) = 1$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 8 - 7 (x + 8)) = 1$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 8 - 7 x - 7 \cdot 8) = 1$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 8 - 7 x - 7 \cdot 8) = 1$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$\ln (x^{2} + 8 \cdot x - 7 x - 7 \cdot 8) = 1$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 7$ par $8$ .

$\ln (x^{2} + 8 x - 7 x - 56) = 1$

Étape 1.3.2

Soustrayez $7 x$ de $8 x$ .

$\ln (x^{2} + x - 56) = 1$

Étape 2

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{2} + x - 56)} = e^{1}$

Étape 3

Réécrivez $\ln (x^{2} + x - 56) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2} + x - 56$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} + x - 56 = e^{1}$ .

$x^{2} + x - 56 = e$

Étape 4.2

Soustrayez $e$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x - 56 - e = 0$

Étape 4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = - 56 - e$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 56 - e))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 56 - e)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 56 - e)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 56 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 56$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.6

Additionnez $1$ et $224$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{225 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - \sqrt{225 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x - 7) + \ln (x + 8) = 1$ vrai.

$x = - \frac{1 - \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{1 - \sqrt{225 + 4 e}}{2}$

Forme décimale :

$x = 7.17908079 \dots$