Calcul infinitésimal Exemples

$4 \cdot 8^{x} = 3.5 e^{1 x}$

Étape 1

Multipliez $4 \cdot 8^{x}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2^{2} \cdot 8^{x} = 3.5 e^{1 x}$

Étape 1.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$2^{2} \cdot {(2^{3})}^{x} = 3.5 e^{1 x}$

Étape 1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2} \cdot 2^{3 x} = 3.5 e^{1 x}$

Étape 1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{2 + 3 x} = 3.5 e^{1 x}$

Étape 2

Multipliez $x$ par $1$ .

$2^{2 + 3 x} = 3.5 e^{x}$

Étape 3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{2 + 3 x}) = \ln (3.5 e^{x})$

Étape 4

Développez $\ln (2^{2 + 3 x})$ en déplaçant $2 + 3 x$ hors du logarithme.

$(2 + 3 x) \ln (2) = \ln (3.5 e^{x})$

Étape 5

Développez le côté droit.

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Étape 5.1

Réécrivez $\ln (3.5 e^{x})$ comme $\ln (3.5) + \ln (e^{x})$ .

$(2 + 3 x) \ln (2) = \ln (3.5) + \ln (e^{x})$

Étape 5.2

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$(2 + 3 x) \ln (2) = \ln (3.5) + x \ln (e)$

Étape 5.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(2 + 3 x) \ln (2) = \ln (3.5) + x \cdot 1$

Étape 5.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$(2 + 3 x) \ln (2) = \ln (3.5) + x$

Étape 6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \ln (2) + 3 x \ln (2) = \ln (3.5) + x$

Étape 7

Remettez dans l’ordre $2 \ln (2)$ et $3 x \ln (2)$ .

$3 x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (3.5) + x$

Étape 8

Remettez dans l’ordre $\ln (3.5)$ et $x$ .

$3 x \ln (2) + 2 \ln (2) = x + \ln (3.5)$

Étape 9

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$3 x \ln (2) + 2 \ln (2) - \ln (3.5) = x$

Étape 10

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$3 x \ln (2) + 2 \ln (2) - \ln (3.5) - x = 0$

Étape 11

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 11.1

Soustrayez $2 \ln (2)$ des deux côtés de l’équation.

$3 x \ln (2) - \ln (3.5) - x = - 2 \ln (2)$

Étape 11.2

Ajoutez $\ln (3.5)$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x \ln (2) - x = - 2 \ln (2) + \ln (3.5)$

Étape 12

Factorisez $x$ à partir de $3 x \ln (2) - x$ .

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Étape 12.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x \ln (2)$ .

$x (3 \ln (2)) - x = - 2 \ln (2) + \ln (3.5)$

Étape 12.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$x (3 \ln (2)) + x \cdot - 1 = - 2 \ln (2) + \ln (3.5)$

Étape 12.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 \ln (2)) + x \cdot - 1$ .

$x (3 \ln (2) - 1) = - 2 \ln (2) + \ln (3.5)$

Étape 13

Divisez chaque terme dans $x (3 \ln (2) - 1) = - 2 \ln (2) + \ln (3.5)$ par $3 \ln (2) - 1$ et simplifiez.

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Étape 13.1

Divisez chaque terme dans $x (3 \ln (2) - 1) = - 2 \ln (2) + \ln (3.5)$ par $3 \ln (2) - 1$ .

$\frac{x (3 \ln (2) - 1)}{3 \ln (2) - 1} = \frac{- 2 \ln (2)}{3 \ln (2) - 1} + \frac{\ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

Étape 13.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun de $3 \ln (2) - 1$ .

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Étape 13.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (3 \ln (2) - 1)}{3 \ln (2) - 1} = \frac{- 2 \ln (2)}{3 \ln (2) - 1} + \frac{\ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

Étape 13.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{3 \ln (2) - 1} + \frac{\ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

Étape 13.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 \ln (2)}{3 \ln (2) - 1} + \frac{\ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

Étape 13.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 2 \ln (2) + \ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

Étape 13.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \ln (2)$ .

$x = \frac{- (2 \ln (2)) + \ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

Étape 13.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (3.5)$ .

$x = \frac{- (2 \ln (2)) - 1 (- \ln (3.5))}{3 \ln (2) - 1}$

Étape 13.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 \ln (2)) - 1 (- \ln (3.5))$ .

$x = \frac{- (2 \ln (2) - \ln (3.5))}{3 \ln (2) - 1}$

Étape 13.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.3.6.1

Réécrivez $- (2 \ln (2) - \ln (3.5))$ comme $- 1 (2 \ln (2) - \ln (3.5))$ .

$x = \frac{- 1 (2 \ln (2) - \ln (3.5))}{3 \ln (2) - 1}$

Étape 13.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 \ln (2) - \ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{2 \ln (2) - \ln (3.5)}{3 \ln (2) - 1}$

Forme décimale :

$x = - 0.12370414 \dots$