Calcul infinitésimal Exemples

$e^{\sqrt{t}} = x^{6}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{\sqrt{t}}) = \ln (x^{6})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (e^{t^{\frac{1}{2}}}) = \ln (x^{6})$

Étape 2.2

Développez $\ln (e^{t^{\frac{1}{2}}})$ en déplaçant $t^{\frac{1}{2}}$ hors du logarithme.

$t^{\frac{1}{2}} \ln (e) = \ln (x^{6})$

Étape 2.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 = \ln (x^{6})$

Étape 2.4

Multipliez $t^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$t^{\frac{1}{2}} = \ln (x^{6})$

Étape 3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = \ln^{2} (x^{6})$

Étape 4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1

Simplifiez ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.1.1

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \ln^{2} (x^{6})$

Étape 4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \ln^{2} (x^{6})$

Étape 4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$t^{1} = \ln^{2} (x^{6})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

$t = \ln^{2} (x^{6})$