Calcul infinitésimal Exemples

${(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}} = 3^{4 x}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}}) = \ln (3^{4 x})$

Étape 2

Développez $\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}})$ en déplaçant $1 - 3 x^{2}$ hors du logarithme.

$(1 - 3 x^{2}) \ln (\frac{1}{25}) = \ln (3^{4 x})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{1}{25})$ comme $\ln (1) - \ln (25)$ .

$(1 - 3 x^{2}) (\ln (1) - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

Étape 4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

Étape 5

Réécrivez $\ln (25)$ comme $\ln (5^{2})$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (5^{2})) = \ln (3^{4 x})$

Étape 6

Développez $\ln (5^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$(1 - 3 x^{2}) (0 - (2 \ln (5))) = \ln (3^{4 x})$

Étape 7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

Étape 8

Soustrayez $2 \ln (5)$ de $0$ .

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

Étape 9

Développez $\ln (3^{4 x})$ en déplaçant $4 x$ hors du logarithme.

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 10.1

Simplifiez $(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5))$ .

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Étape 10.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Étape 10.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Étape 10.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 (- 2 \ln (5)) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Étape 10.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1.4.1

Multipliez $- 2 \ln (5)$ par $1$ .

$- 2 \ln (5) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Étape 10.1.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 \ln (5) - 3 \cdot - 2 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

Étape 10.1.4.3

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

Étape 10.2

Soustrayez $4 x \ln (3)$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) - 4 x \ln (3) = 0$

Étape 10.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 10.4

Remplacez les valeurs $a = 6 \ln (5)$ , $b = - 4 \ln (3)$ et $c = - 2 \ln (5)$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 \ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))}}{2 (6 \ln (5))}$

Étape 10.5

Simplifiez

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Étape 10.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.5.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.2

Laissez $u = 6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ . Remplacez toutes les occurrences de $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ par $u$ .

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Étape 10.5.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 4 \ln (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (3) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (3) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $16 \ln^{2} (3) - 4 u$ .

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Étape 10.5.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16 \ln^{2} (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.5.1.5.1

Multipliez $\ln (5)$ par $\ln (5)$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.5.1.5.1.1

Déplacez $\ln (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \ln (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.5.1.2

Multipliez $\ln (5)$ par $\ln (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln^{2} (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.5.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $\ln^{2} (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (- 2 \cdot \ln^{2} (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.5.3

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (- 12 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.5.4

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5)$ .

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Étape 10.5.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \ln^{2} (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $12 \ln^{2} (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5))$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 \cdot (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.7

Multipliez $4$ par $4$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.8

Réécrivez $16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ comme ${(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ .

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Étape 10.5.1.8.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 2^{2} \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Étape 10.5.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$

Étape 10.5.3

Simplifiez $\frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$ .

$x = \frac{\ln (3) \pm \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Étape 10.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Forme décimale :

$x = 0.84810424 \dots, - 0.39303344 \dots$