Calcul infinitésimal Exemples

$4^{x} - 14 \cdot 2^{x} = - 49$

Étape 1

Ajoutez $49$ aux deux côtés de l’équation.

$4^{x} - 14 \cdot 2^{x} + 49 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez $4^{x}$ comme ${(2^{2})}^{x}$ .

${(2^{2})}^{x} - 14 \cdot 2^{x} + 49 = 0$

Étape 2.2

Réécrivez ${(2^{2})}^{x}$ comme ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} - 14 \cdot 2^{x} + 49 = 0$

Étape 2.3

Laissez $u = 2^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $2^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - 14 u + 49 = 0$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.4.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$u^{2} - 14 u + 7^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$14 u = 2 \cdot u \cdot 7$

Étape 2.4.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 7 + 7^{2} = 0$

Étape 2.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 7$ .

${(u - 7)}^{2} = 0$

Étape 2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2^{x}$ .

${(2^{x} - 7)}^{2} = 0$

Étape 3

Définissez le $2^{x} - 7$ égal à $0$ .

$2^{x} - 7 = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$2^{x} = 7$

Étape 4.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{x}) = \ln (7)$

Étape 4.3

Développez $\ln (2^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (2) = \ln (7)$

Étape 4.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (2) = \ln (7)$ par $\ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 4.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (2) = \ln (7)$ par $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Étape 4.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Forme décimale :

$x = 2.80735492 \dots$