Calcul infinitésimal Exemples

$10^{x + 3} = 5 e^{7 - x}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (10^{x + 3}) = \ln (5 e^{7 - x})$

Étape 2

Développez $\ln (10^{x + 3})$ en déplaçant $x + 3$ hors du logarithme.

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5 e^{7 - x})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (5 e^{7 - x})$ comme $\ln (5) + \ln (e^{7 - x})$ .

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + \ln (e^{7 - x})$

Étape 4

Développez $\ln (e^{7 - x})$ en déplaçant $7 - x$ hors du logarithme.

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + (7 - x) \ln (e)$

Étape 5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + (7 - x) \cdot 1$

Étape 6

Multipliez $7 - x$ par $1$ .

$(x + 3) \ln (10) = \ln (5) + 7 - x$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$(x + 3) \ln (10) - \ln (5) = 7 - x$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (10) + 3 \ln (10) - \ln (5) = 7 - x$

Étape 7.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Simplifiez $x \ln (10) + 3 \ln (10) - \ln (5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1.1

Simplifiez $3 \ln (10)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$x \ln (10) + \ln (10^{3}) - \ln (5) = 7 - x$

Étape 7.3.1.1.2

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$x \ln (10) + \ln (1000) - \ln (5) = 7 - x$

Étape 7.3.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (10) + \ln (\frac{1000}{5}) = 7 - x$

Étape 7.3.1.3

Divisez $1000$ par $5$ .

$x \ln (10) + \ln (200) = 7 - x$

Étape 7.4

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (10) + \ln (200) + x = 7$

Étape 7.5

Soustrayez $\ln (200)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (10) + x = 7 - \ln (200)$

Étape 7.6

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (10) + x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (10)$ .

$x (\ln (10)) + x = 7 - \ln (200)$

Étape 7.6.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x (\ln (10)) + x = 7 - \ln (200)$

Étape 7.6.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x (\ln (10)) + x \cdot 1 = 7 - \ln (200)$

Étape 7.6.4

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (10)) + x \cdot 1$ .

$x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$

Étape 7.7

Divisez chaque terme dans $x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$ par $\ln (10) + 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (10) + 1) = 7 - \ln (200)$ par $\ln (10) + 1$ .

$\frac{x (\ln (10) + 1)}{\ln (10) + 1} = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Étape 7.7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (10) + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (10) + 1)}{\ln (10) + 1} = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Étape 7.7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{\ln (10) + 1} + \frac{- \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Étape 7.7.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{7}{\ln (10) + 1} - \frac{\ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Étape 7.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{7 - \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{7 - \ln (200)}{\ln (10) + 1}$

Forme décimale :

$x = 0.51525777 \dots$