Calcul infinitésimal Exemples

$(9 x + 4) (12 x - 15) = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Étape 1

Simplifiez $(9 x + 4) (12 x - 15)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (9 x + 4) (12 x - 15) = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Étape 1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(9 x + 4) (12 x - 15) = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Étape 1.3

Développez $(9 x + 4) (12 x - 15)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 x (12 x - 15) + 4 (12 x - 15) = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 x (12 x) + 9 x \cdot - 15 + 4 (12 x - 15) = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 x (12 x) + 9 x \cdot - 15 + 4 (12 x) + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Étape 1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 \cdot 12 x \cdot x + 9 x \cdot - 15 + 4 (12 x) + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$9 \cdot 12 (x \cdot x) + 9 x \cdot - 15 + 4 (12 x) + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$9 \cdot 12 x^{2} + 9 x \cdot - 15 + 4 (12 x) + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Étape 1.4.1.3

Multipliez $9$ par $12$ .

$108 x^{2} + 9 x \cdot - 15 + 4 (12 x) + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $- 15$ par $9$ .

$108 x^{2} - 135 x + 4 (12 x) + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Étape 1.4.1.5

Multipliez $12$ par $4$ .

$108 x^{2} - 135 x + 48 x + 4 \cdot - 15 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Étape 1.4.1.6

Multipliez $4$ par $- 15$ .

$108 x^{2} - 135 x + 48 x - 60 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Étape 1.4.2

Additionnez $- 135 x$ et $48 x$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = (2 x - 3) (5 - 4 x)$

Étape 2

Simplifiez $(2 x - 3) (5 - 4 x)$ .

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Étape 2.1

Développez $(2 x - 3) (5 - 4 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 2 x (5 - 4 x) - 3 (5 - 4 x)$

Étape 2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 2 x \cdot 5 + 2 x (- 4 x) - 3 (5 - 4 x)$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 2 x \cdot 5 + 2 x (- 4 x) - 3 \cdot 5 - 3 (- 4 x)$

Étape 2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x + 2 x (- 4 x) - 3 \cdot 5 - 3 (- 4 x)$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x + 2 \cdot - 4 x \cdot x - 3 \cdot 5 - 3 (- 4 x)$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x + 2 \cdot - 4 (x \cdot x) - 3 \cdot 5 - 3 (- 4 x)$

Étape 2.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x + 2 \cdot - 4 x^{2} - 3 \cdot 5 - 3 (- 4 x)$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x - 8 x^{2} - 3 \cdot 5 - 3 (- 4 x)$

Étape 2.2.1.5

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x - 8 x^{2} - 15 - 3 (- 4 x)$

Étape 2.2.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 10 x - 8 x^{2} - 15 + 12 x$

Étape 2.2.2

Additionnez $10 x$ et $12 x$ .

$108 x^{2} - 87 x - 60 = 22 x - 8 x^{2} - 15$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $22 x$ des deux côtés de l’équation.

$108 x^{2} - 87 x - 60 - 22 x = - 8 x^{2} - 15$

Étape 3.2

Ajoutez $8 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$108 x^{2} - 87 x - 60 - 22 x + 8 x^{2} = - 15$

Étape 3.3

Additionnez $108 x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$116 x^{2} - 87 x - 60 - 22 x = - 15$

Étape 3.4

Soustrayez $22 x$ de $- 87 x$ .

$116 x^{2} - 109 x - 60 = - 15$

Étape 4

Ajoutez $15$ aux deux côtés de l’équation.

$116 x^{2} - 109 x - 60 + 15 = 0$

Étape 5

Additionnez $- 60$ et $15$ .

$116 x^{2} - 109 x - 45 = 0$

Étape 6

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 116 \cdot - 45 = - 5220$ et dont la somme est $b = - 109$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $- 109$ à partir de $- 109 x$ .

$116 x^{2} - 109 x - 45 = 0$

Étape 6.1.2

Réécrivez $- 109$ comme $36$ plus $- 145$

$116 x^{2} + (36 - 145) x - 45 = 0$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$116 x^{2} + 36 x - 145 x - 45 = 0$

Étape 6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(116 x^{2} + 36 x) - 145 x - 45 = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$4 x (29 x + 9) - 5 (29 x + 9) = 0$

Étape 6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $29 x + 9$ .

$(29 x + 9) (4 x - 5) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$29 x + 9 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Étape 8

Définissez $29 x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $29 x + 9$ égal à $0$ .

$29 x + 9 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $29 x + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$29 x = - 9$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $29 x = - 9$ par $29$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $29 x = - 9$ par $29$ .

$\frac{29 x}{29} = \frac{- 9}{29}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $29$ .

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Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{29 x}{29} = \frac{- 9}{29}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 9}{29}$

Étape 8.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{9}{29}$

Étape 9

Définissez $4 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $4 x - 5$ égal à $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Étape 9.2

Résolvez $4 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 9.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 5$

Étape 9.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 5$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 9.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 5$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Étape 9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Étape 9.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(29 x + 9) (4 x - 5) = 0$ vraie.

$x = - \frac{9}{29}, \frac{5}{4}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{9}{29}, \frac{5}{4}$

Forme décimale :

$x = - 0.31034482 \dots, 1.25$

Forme de nombre mixte :

$x = - \frac{9}{29}, 1 \frac{1}{4}$