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Calcul infinitésimal Exemples
, , ,
Étape 1
Étape 1.1
Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.
Étape 1.2
Résolvez pour .
Étape 1.2.1
Réécrivez comme une élévation à une puissance.
Étape 1.2.2
Remplacez par .
Étape 1.2.3
Déplacez tous les termes contenant du côté gauche de l’équation.
Étape 1.2.3.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.3.2
Soustrayez de .
Étape 1.2.4
Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.
Étape 1.2.5
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 1.2.5.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.2.5.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 1.2.5.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 1.2.5.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.2.5.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.2.5.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 1.2.5.3.1
Divisez par .
Étape 1.3
Évaluez quand .
Étape 1.3.1
Remplacez par .
Étape 1.3.2
Simplifiez .
Étape 1.3.2.1
Multipliez par .
Étape 1.3.2.2
Additionnez et .
Étape 1.4
La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.
Étape 2
L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.
Étape 3
Étape 3.1
Associez les intégrales en une intégrale unique.
Étape 3.2
Multipliez par .
Étape 3.3
Soustrayez de .
Étape 3.4
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 3.5
Appliquez la règle de la constante.
Étape 3.6
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 3.7
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Étape 3.7.1
Laissez . Déterminez .
Étape 3.7.1.1
Différenciez .
Étape 3.7.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.7.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.7.1.4
Multipliez par .
Étape 3.7.2
Remplacez la limite inférieure pour dans .
Étape 3.7.3
Multipliez par .
Étape 3.7.4
Remplacez la limite supérieure pour dans .
Étape 3.7.5
Multipliez par .
Étape 3.7.6
Les valeurs déterminées pour et seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.
Étape 3.7.7
Réécrivez le problème en utilisant , et les nouvelles limites d’intégration.
Étape 3.8
Associez et .
Étape 3.9
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 3.10
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 3.11
Remplacez et simplifiez.
Étape 3.11.1
Évaluez sur et sur .
Étape 3.11.2
Évaluez sur et sur .
Étape 3.11.3
Simplifiez
Étape 3.11.3.1
Déplacez à gauche de .
Étape 3.11.3.2
Multipliez par .
Étape 3.11.3.3
Multipliez par .
Étape 3.11.3.4
Additionnez et .
Étape 3.11.3.5
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 3.11.3.6
Multipliez par .
Étape 3.12
Simplifiez
Étape 3.12.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 3.12.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 3.12.1.2
Associez et .
Étape 3.12.1.3
Multipliez .
Étape 3.12.1.3.1
Multipliez par .
Étape 3.12.1.3.2
Multipliez par .
Étape 3.12.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 3.12.3
Associez et .
Étape 3.12.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.12.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.12.6
Multipliez par .
Étape 3.12.7
Soustrayez de .
Étape 4
L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.
Étape 5
Étape 5.1
Associez les intégrales en une intégrale unique.
Étape 5.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3
Soustrayez de .
Étape 5.4
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 5.5
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Étape 5.5.1
Laissez . Déterminez .
Étape 5.5.1.1
Différenciez .
Étape 5.5.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.5.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5.5.1.4
Multipliez par .
Étape 5.5.2
Remplacez la limite inférieure pour dans .
Étape 5.5.3
Multipliez par .
Étape 5.5.4
Remplacez la limite supérieure pour dans .
Étape 5.5.5
Multipliez par .
Étape 5.5.6
Les valeurs déterminées pour et seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.
Étape 5.5.7
Réécrivez le problème en utilisant , et les nouvelles limites d’intégration.
Étape 5.6
Associez et .
Étape 5.7
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 5.8
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 5.9
Appliquez la règle de la constante.
Étape 5.10
Remplacez et simplifiez.
Étape 5.10.1
Évaluez sur et sur .
Étape 5.10.2
Évaluez sur et sur .
Étape 5.10.3
Simplifiez
Étape 5.10.3.1
Multipliez par .
Étape 5.10.3.2
Déplacez à gauche de .
Étape 5.10.3.3
Additionnez et .
Étape 5.11
Simplifiez
Étape 5.11.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.11.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.11.1.2
Associez et .
Étape 5.11.1.3
Associez et .
Étape 5.11.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 5.11.3
Associez et .
Étape 5.11.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.11.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.11.6
Multipliez par .
Étape 5.11.7
Soustrayez de .
Étape 6
Étape 6.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 6.2
Soustrayez de .
Étape 7