Calcul infinitésimal Exemples

$\ln ({(7 x^{9} + 4 x)}^{\frac{9}{5}})$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Définissez l’argument du logarithme égal à zéro.

${(7 x^{9} + 4 x)}^{\frac{9}{5}} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Définissez le $7 x^{9} + 4 x$ égal à $0$ .

$7 x^{9} + 4 x = 0$

Étape 1.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $7 x^{9} + 4 x$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $7 x^{9}$ .

$x (7 x^{8}) + 4 x = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$x (7 x^{8}) + x \cdot 4 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (7 x^{8}) + x \cdot 4$ .

$x (7 x^{8} + 4) = 0$

Étape 1.2.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$7 x^{8} + 4 = 0$

Étape 1.2.2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.2.4

Définissez $7 x^{8} + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.4.1

Définissez $7 x^{8} + 4$ égal à $0$ .

$7 x^{8} + 4 = 0$

Étape 1.2.2.4.2

Résolvez $7 x^{8} + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.2.4.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$7 x^{8} = - 4$

Étape 1.2.2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x^{8} = - 4$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x^{8} = - 4$ par $7$ .

$\frac{7 x^{8}}{7} = \frac{- 4}{7}$

Étape 1.2.2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 1.2.2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x^{8}}{7} = \frac{- 4}{7}$

Étape 1.2.2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x^{8}$ par $1$ .

$x^{8} = \frac{- 4}{7}$

Étape 1.2.2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{8} = - \frac{4}{7}$

Étape 1.2.2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

Étape 1.2.2.4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.2.4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

Étape 1.2.2.4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

Étape 1.2.2.4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}, - \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

Étape 1.2.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (7 x^{8} + 4) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}, - \sqrt[8]{- \frac{4}{7}}$

Étape 1.2.3

Excluez les solutions qui ne rendent pas ${(7 x^{9} + 4 x)}^{\frac{9}{5}} = 0$ vrai.

$x = 0$

Étape 1.3

L’asymptote verticale se produit sur $x = 0$ .

Asymptote verticale : $x = 0$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \ln ({(7 {(1)}^{9} + 4 (1))}^{\frac{9}{5}})$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \ln ({(7 \cdot 1 + 4 (1))}^{\frac{9}{5}})$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $7$ par $1$ .

$f (1) = \ln ({(7 + 4 (1))}^{\frac{9}{5}})$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (1) = \ln ({(7 + 4)}^{\frac{9}{5}})$

Étape 2.2.2

Additionnez $7$ et $4$ .

$f (1) = \ln (11^{\frac{9}{5}})$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $\ln (11^{\frac{9}{5}})$ .

$\ln (11^{\frac{9}{5}})$

Étape 2.3

Convertissez $\ln (11^{\frac{9}{5}})$ en décimale.

$y = 4.31621149$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \ln ({(7 {(2)}^{9} + 4 (2))}^{\frac{9}{5}})$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $9$ .

$f (2) = \ln ({(7 \cdot 512 + 4 (2))}^{\frac{9}{5}})$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $7$ par $512$ .

$f (2) = \ln ({(3584 + 4 (2))}^{\frac{9}{5}})$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (2) = \ln ({(3584 + 8)}^{\frac{9}{5}})$

Étape 3.2.2

Additionnez $3584$ et $8$ .

$f (2) = \ln (3592^{\frac{9}{5}})$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $\ln (3592^{\frac{9}{5}})$ .

$\ln (3592^{\frac{9}{5}})$

Étape 3.3

Convertissez $\ln (3592^{\frac{9}{5}})$ en décimale.

$y = 14.73563597$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \ln ({(7 {(3)}^{9} + 4 (3))}^{\frac{9}{5}})$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $9$ .

$f (3) = \ln ({(7 \cdot 19683 + 4 (3))}^{\frac{9}{5}})$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $7$ par $19683$ .

$f (3) = \ln ({(137781 + 4 (3))}^{\frac{9}{5}})$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (3) = \ln ({(137781 + 12)}^{\frac{9}{5}})$

Étape 4.2.2

Additionnez $137781$ et $12$ .

$f (3) = \ln (137793^{\frac{9}{5}})$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $\ln (137793^{\frac{9}{5}})$ .

$\ln (137793^{\frac{9}{5}})$

Étape 4.3

Convertissez $\ln (137793^{\frac{9}{5}})$ en décimale.

$y = 21.3003141$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 0$ et les points $(1, 4.31621149), (2, 14.73563597), (3, 21.3003141)$ .

Asymptote verticale : $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 4.316 \\ 2 & 14.736 \\ 3 & 21.3 \end{array}$

Étape 6