Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\ln (x)}{e^{x}}$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 1.2

Comme $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 1.3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 1.3.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.3.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 1.3.1.1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 1.3.1.1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.3.1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.3.1.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 1.3.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 1.3.1.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 1.3.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

Étape 1.3.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

Étape 1.3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x e^{x}}$ approche de $0$ .

$0$

Étape 1.4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 0$

Étape 1.5

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Asymptotes verticales : $x = 0$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{\ln (1)}{e^{1}}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (1) = \frac{0}{e}$

Étape 2.2.2

Divisez $0$ par $e$ .

$f (1) = 0$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.3

Convertissez $0$ en décimale.

$y = 0$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Étape 3.2

La réponse finale est $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Étape 3.3

Convertissez $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ en décimale.

$y = 0.09380727$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Étape 4.2

La réponse finale est $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ .

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Étape 4.3

Convertissez $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ en décimale.

$y = 0.05469668$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 0$ et les points $(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)$ .

Asymptote verticale : $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}$

Étape 6