Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (3 x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Définissez l’argument du logarithme égal à zéro.

$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.2

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 2$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.1.3

Soustrayez $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.1.3

Soustrayez $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.2.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Étape 1.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}$

Étape 1.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.5.1.3

Soustrayez $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.5.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.5.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Étape 1.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Étape 1.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Étape 1.3

L’asymptote verticale se produit sur $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ .

Asymptote verticale : $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \ln (3 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1)$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \ln (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1)$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = \ln (3 - 2 \cdot 1 + 1)$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (1) = \ln (3 - 2 + 1)$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.1

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f (1) = \ln (1 + 1)$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (1) = \ln (2)$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Étape 2.3

Convertissez $\ln (2)$ en décimale.

$y = 0.69314718$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \ln (3 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1)$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = \ln (3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 1)$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (2) = \ln (12 - 2 \cdot 2 + 1)$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (2) = \ln (12 - 4 + 1)$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $4$ de $12$ .

$f (2) = \ln (8 + 1)$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$f (2) = \ln (9)$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $\ln (9)$ .

$\ln (9)$

Étape 3.3

Convertissez $\ln (9)$ en décimale.

$y = 2.19722457$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Étape 4.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (3) = \ln (3^{1 + 2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Étape 4.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (3) = \ln (3^{3} - 2 \cdot 3 + 1)$

Étape 4.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (3) = \ln (27 - 2 \cdot 3 + 1)$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f (3) = \ln (27 - 6 + 1)$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $6$ de $27$ .

$f (3) = \ln (21 + 1)$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $21$ et $1$ .

$f (3) = \ln (22)$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $\ln (22)$ .

$\ln (22)$

Étape 4.3

Convertissez $\ln (22)$ en décimale.

$y = 3.09104245$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ et les points $(1, 0.69314718), (2, 2.19722457), (3, 3.09104245)$ .

Asymptote verticale : $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.693 \\ 2 & 2.197 \\ 3 & 3.091 \end{array}$

Étape 6