Calcul infinitésimal Exemples

$y = 7 x^{2} + 5 x$ , $(- 1, 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 1$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{2} + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$14 x + 5 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$14 x + 5$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = - 1$ .

$14 (- 1) + 5$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $14$ par $- 1$ .

$- 14 + 5$

Étape 1.5.2

Additionnez $- 14$ et $5$ .

$- 9$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 9$ et un point donné, tel que $(- 1, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - 9 \cdot (x - (- 1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = - 9 \cdot (x + 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 9 \cdot (x + 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 - 9 \cdot (x + 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 2 = - 9 \cdot (x + 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = - 9 x - 9 \cdot 1$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$y - 2 = - 9 x - 9$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 9 x - 9 + 2$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 9$ et $2$ .

$y = - 9 x - 7$

Étape 3