Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}{\tan (5 x)}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} 3 x)}{\tan (5 x)}$

Étape 1.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\tan (3 lim_{x \to 0} x)}{\tan (5 x)}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\tan (3 \cdot 0)}{\tan (5 x)}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Réécrivez $\tan (5 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\tan (3 \cdot 0)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Étape 3.2

Réécrivez $\tan (3 \cdot 0)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (3 \cdot 0)}{\cos (3 \cdot 0)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Étape 3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0)}{\cos (3 \cdot 0)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Convertissez de $\frac{\sin (3 \cdot 0)}{\cos (3 \cdot 0)}$ à $\tan (3 \cdot 0)$ .

$\tan (3 \cdot 0) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Étape 3.4.2

Convertissez de $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ à $\cot (5 x)$ .

$\tan (3 \cdot 0) \cot (5 x)$

Étape 3.5

Multipliez $3$ par $0$ .

$\tan (0) \cot (5 x)$

Étape 3.6

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$0 \cot (5 x)$

Étape 3.7

Multipliez $0$ par $\cot (5 x)$ .

$0$