Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$ , $(2, 4)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 4$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3} - 9 x y) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Étape 1.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Étape 1.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x y$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 1.2.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y)$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y') - 9 y$

Étape 1.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y$

Étape 1.3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.5.1.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = - 3 x^{2}$

Étape 1.5.1.2

Ajoutez $9 y$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

Étape 1.5.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y^{2} y' - 9 x y'$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $- 9 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

Étape 1.5.2.3

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

Étape 1.5.3

Divisez chaque terme dans $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ par $3 (y^{2} - 3 x)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ par $3 (y^{2} - 3 x)$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2} - 3 x$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Étape 1.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 1.5.3.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Étape 1.5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Étape 1.5.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Étape 1.5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Étape 1.5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 1.5.3.3.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $9 y$ .

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Étape 1.5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Étape 1.5.3.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 y}{y^{2} - 3 x}$

Étape 1.5.3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.5.3.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- x^{2} + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Étape 1.5.3.3.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Étape 1.5.3.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $3 y$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) - (- 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Étape 1.5.3.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 3 y)$ .

$y' = \frac{- (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Étape 1.5.3.3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.3.3.2.5.1

Réécrivez $- (x^{2} - 3 y)$ comme $- 1 (x^{2} - 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Étape 1.5.3.3.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 2$ sur $y = 4$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$- \frac{{(2)}^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 \cdot 2}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $4$ dans l’expression.

$- \frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 4}{{(4)}^{2} - 3 \cdot 2}$

Étape 1.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{4 - 3 \cdot 4}{4^{2} - 3 \cdot 2}$

Étape 1.7.3.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$- \frac{4 - 12}{4^{2} - 3 \cdot 2}$

Étape 1.7.3.3

Soustrayez $12$ de $4$ .

$- \frac{- 8}{4^{2} - 3 \cdot 2}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.4.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{- 8}{16 - 3 \cdot 2}$

Étape 1.7.4.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- \frac{- 8}{16 - 6}$

Étape 1.7.4.3

Soustrayez $6$ de $16$ .

$- \frac{- 8}{10}$

Étape 1.7.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.7.5.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $10$ .

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Étape 1.7.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$- \frac{2 (- 4)}{10}$

Étape 1.7.5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.5.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$- \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 5}$

Étape 1.7.5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 5}$

Étape 1.7.5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{- 4}{5}$

Étape 1.7.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{4}{5}$

Étape 1.7.6

Multipliez $- - \frac{4}{5}$ .

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Étape 1.7.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{4}{5})$

Étape 1.7.6.2

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $1$ .

$\frac{4}{5}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{4}{5}$ et un point donné, tel que $(2, 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{4}{5} \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 4 = \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{4}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 4 = \frac{4}{5} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 4 = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{4}{5}$ et $x$ .

$y - 4 = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $\frac{4}{5} \cdot - 2$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Associez $\frac{4}{5}$ et $- 2$ .

$y - 4 = \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 2}{5}$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$y - 4 = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8}{5}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 4 = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + 4$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 2.3.2.3

Associez $4$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{8}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8 + 4 \cdot 5}{5}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 8 + 20}{5}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 8$ et $20$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{12}{5}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{12}{5}$

Étape 3