Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} + 4) y = 8$ , $(2, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ((x^{2} + 4) y) = \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + 4$ et $g (x) = y$ .

$(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$(x^{2} + 4) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 1.2.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + 0)$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x)$

Étape 1.2.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$(x^{2} + 4) y' + 2 \cdot y x$

Étape 1.2.7

Simplifiez

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Étape 1.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} y' + 4 y' + 2 y x$

Étape 1.2.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y'$

Étape 1.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y' = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' + 4 y' = - 2 x y$

Étape 1.5.2

Factorisez $y'$ à partir de $x^{2} y' + 4 y'$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 4 y' = - 2 x y$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $4 y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot 4 = - 2 x y$

Étape 1.5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' x^{2} + y' \cdot 4$ .

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$

Étape 1.5.3

Divisez chaque terme dans $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ par $x^{2} + 4$ et simplifiez.

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Étape 1.5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ par $x^{2} + 4$ .

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 4$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Étape 1.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 2$ sur $y = 1$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{y}{{(2)}^{2} + 4}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $1$ dans l’expression.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{{(2)}^{2} + 4}$

Étape 1.7.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4 + 4}$

Étape 1.7.3.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{8}$

Étape 1.7.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.7.4.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 4 \cdot \frac{1}{8}$

Étape 1.7.4.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.7.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$4 (- 1) \cdot \frac{1}{8}$

Étape 1.7.4.2.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Étape 1.7.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

Étape 1.7.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.7.4.3

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{2}$ et un point donné, tel que $(2, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Étape 2.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 1$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 2$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 2$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{2} x + 2$

Étape 3