Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{18}{x^{2} + 2}$ , $(1, 6)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 6$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{18}{x^{2} + 2}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 2}$ comme ${(x^{2} + 2)}^{- 1}$ .

$18 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 2$ .

$18 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$18 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 2$ .

$18 (- {(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$- 18 ({(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x)$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 18$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 36 \frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Associez $- 36$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 36}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Étape 1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{36}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Étape 1.4.2.3

Associez $x$ et $\frac{36}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 36}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 1.4.2.4

Déplacez $36$ à gauche de $x$ .

$- \frac{36 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$- \frac{36 (1)}{{({(1)}^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Multipliez $36$ par $1$ .

$- \frac{36}{{(1^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 1.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{36}{{(1 + 2)}^{2}}$

Étape 1.6.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{36}{3^{2}}$

Étape 1.6.2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{36}{9}$

Étape 1.6.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.6.3.1

Divisez $36$ par $9$ .

$- 1 \cdot 4$

Étape 1.6.3.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 4$ et un point donné, tel que $(1, 6)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = - 4 \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 6 = - 4 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 4 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 6 = 0 + 0 - 4 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 6 = - 4 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 6 = - 4 x - 4 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y - 6 = - 4 x + 4$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 4 x + 4 + 6$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $4$ et $6$ .

$y = - 4 x + 10$

Étape 3