Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (x y) = x - 1$ , $(1, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\tan (x y)) = \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 1.2.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Étape 1.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y)$

Étape 1.2.6

Simplifiez

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Étape 1.2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

Étape 1.2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.3.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) = 1$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$ .

$x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) = 1$

Étape 1.5.2

Soustrayez $y \sec^{2} (x y)$ des deux côtés de l’équation.

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$

Étape 1.5.3

Divisez chaque terme dans $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ par $x \sec^{2} (x y)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.3.1

Divisez chaque terme dans $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ par $x \sec^{2} (x y)$ .

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $\sec^{2} (x y)$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Étape 1.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $\sec^{2} (x y)$ .

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Étape 1.5.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Étape 1.5.3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y}{x}$

Étape 1.5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 1$ sur $y = 0$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot y)} - \frac{y}{1}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $0$ dans l’expression.

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Étape 1.7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.3.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 1.7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Étape 1.7.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Étape 1.7.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Étape 1.7.3.3

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))}$ comme ${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2} - \frac{0}{1}$

Étape 1.7.3.4

Réécrivez $\sec ((1) \cdot (0))$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}})}^{2} - \frac{0}{1}$

Étape 1.7.3.5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}$ .

${(1 \cos ((1) \cdot (0)))}^{2} - \frac{0}{1}$

Étape 1.7.3.6

Simplifiez

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Étape 1.7.3.6.1

Multipliez $0$ par $1$ .

${(1 \cos (0))}^{2} - \frac{0}{1}$

Étape 1.7.3.6.2

Multipliez $\cos (0)$ par $1$ .

$\cos^{2} (0) - \frac{0}{1}$

Étape 1.7.3.7

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1^{2} - \frac{0}{1}$

Étape 1.7.3.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - \frac{0}{1}$

Étape 1.7.3.9

Divisez $0$ par $1$ .

$1 - 0$

Étape 1.7.3.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.7.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $1$ et un point donné, tel que $(1, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = 1 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$y = x - 1$

Étape 3