Calcul infinitésimal Exemples

Trouver l'aire entre les courbes y=x^2 , y=2x-x^2
,
Étape 1
Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.
Étape 1.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.1
Comme est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.
Étape 1.2.2
Déplacez tous les termes contenant du côté gauche de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.2.3
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.1
Laissez . Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.2.3.2
Factorisez à partir de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 1.2.4
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.2.5
Définissez égal à .
Étape 1.2.6
Définissez égal à et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.6.2
Résolvez pour .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.6.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.2.6.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.2.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 1.2.6.2.2.2.2
Divisez par .
Étape 1.2.6.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.2.6.2.2.3.1
Divisez par .
Étape 1.2.7
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 1.3
Évaluez quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.1
Remplacez par .
Étape 1.3.2
Remplacez par dans et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 1.3.2.2
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.3.2.2.1.1
Multipliez par .
Étape 1.3.2.2.1.2
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.3.2.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.3.2.2.2
Additionnez et .
Étape 1.4
Évaluez quand .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.1
Remplacez par .
Étape 1.4.2
Remplacez par dans et résolvez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 1.4.2.2
Simplifiez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.4.2.2.1.1
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.1.2
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 1.4.2.2.1.3
Multipliez par .
Étape 1.4.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 1.5
La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.
Étape 2
Remettez dans l’ordre et .
Étape 3
L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.
Étape 4
Intégrez pour déterminer l’aire entre et .
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Étape 4.1
Associez les intégrales en une intégrale unique.
Étape 4.2
Soustrayez de .
Étape 4.3
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 4.4
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 4.5
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 4.6
Associez et .
Étape 4.7
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 4.8
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 4.9
Simplifiez la réponse.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.9.1
Associez et .
Étape 4.9.2
Remplacez et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.9.2.1
Évaluez sur et sur .
Étape 4.9.2.2
Évaluez sur et sur .
Étape 4.9.2.3
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.9.2.3.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 4.9.2.3.2
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 4.9.2.3.3
Annulez le facteur commun à et .
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Étape 4.9.2.3.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.9.2.3.3.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.9.2.3.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.9.2.3.3.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.9.2.3.3.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.9.2.3.3.2.4
Divisez par .
Étape 4.9.2.3.4
Multipliez par .
Étape 4.9.2.3.5
Additionnez et .
Étape 4.9.2.3.6
Associez et .
Étape 4.9.2.3.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.9.2.3.8
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 4.9.2.3.9
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 4.9.2.3.10
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.9.2.3.10.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.9.2.3.10.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.9.2.3.10.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.9.2.3.10.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.9.2.3.10.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.9.2.3.10.2.4
Divisez par .
Étape 4.9.2.3.11
Multipliez par .
Étape 4.9.2.3.12
Additionnez et .
Étape 4.9.2.3.13
Associez et .
Étape 4.9.2.3.14
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.9.2.3.14.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.9.2.3.14.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4.9.2.3.15
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 4.9.2.3.16
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.9.2.3.17
Additionnez et .
Étape 5