Calcul infinitésimal Exemples

Trouver l'aire entre les courbes y=16-x^2 , y=0 , x=-2 , x=3
, , ,
Étape 1
Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.
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Étape 1.1
Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.
Étape 1.2
Résolvez pour .
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Étape 1.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
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Étape 1.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
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Étape 1.2.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 1.2.2.2.2
Divisez par .
Étape 1.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
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Étape 1.2.2.3.1
Divisez par .
Étape 1.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Étape 1.2.4
Simplifiez .
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Étape 1.2.4.1
Réécrivez comme .
Étape 1.2.4.2
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 1.2.5
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
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Étape 1.2.5.1
Commencez par utiliser la valeur positive du pour déterminer la première solution.
Étape 1.2.5.2
Ensuite, utilisez la valeur négative du pour déterminer la deuxième solution.
Étape 1.2.5.3
La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.
Étape 1.3
Remplacez par .
Étape 1.4
La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.
Étape 2
Remettez dans l’ordre et .
Étape 3
L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.
Étape 4
Intégrez pour déterminer l’aire entre et .
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Étape 4.1
Associez les intégrales en une intégrale unique.
Étape 4.2
Soustrayez de .
Étape 4.3
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 4.4
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 4.5
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 4.6
Associez et .
Étape 4.7
Appliquez la règle de la constante.
Étape 4.8
Remplacez et simplifiez.
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Étape 4.8.1
Évaluez sur et sur .
Étape 4.8.2
Évaluez sur et sur .
Étape 4.8.3
Simplifiez
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Étape 4.8.3.1
Élevez à la puissance .
Étape 4.8.3.2
Annulez le facteur commun à et .
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Étape 4.8.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.8.3.2.2
Annulez les facteurs communs.
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Étape 4.8.3.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 4.8.3.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 4.8.3.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 4.8.3.2.2.4
Divisez par .
Étape 4.8.3.3
Élevez à la puissance .
Étape 4.8.3.4
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.8.3.5
Multipliez par .
Étape 4.8.3.6
Multipliez par .
Étape 4.8.3.7
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 4.8.3.8
Associez et .
Étape 4.8.3.9
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.8.3.10
Simplifiez le numérateur.
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Étape 4.8.3.10.1
Multipliez par .
Étape 4.8.3.10.2
Additionnez et .
Étape 4.8.3.11
Multipliez par .
Étape 4.8.3.12
Multipliez par .
Étape 4.8.3.13
Additionnez et .
Étape 4.8.3.14
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 4.8.3.15
Associez et .
Étape 4.8.3.16
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.8.3.17
Simplifiez le numérateur.
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Étape 4.8.3.17.1
Multipliez par .
Étape 4.8.3.17.2
Additionnez et .
Étape 5