Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} + 7 x - 5}{5 x^{2} - 6 x + 4}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.1.1.2

Divisez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $7 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x \cdot 7}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{- 5}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{- 5}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x} + \frac{- 5}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{5 + \frac{- 6 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 6 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{5 + \frac{x \cdot - 6}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{5 + \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{5 + \frac{x \cdot - 6}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{5 + \frac{- 6}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{5 - \frac{6}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{7}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{6}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{6}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{4 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{6}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 2.6

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{6}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{4 + 7 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{6}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 + 7 \cdot 0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{6}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{4 + 7 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{6}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{4 + 7 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{4 + 7 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 6.3

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 + 7 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{4 + 7 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 - 6 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}$

Étape 8

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 + 7 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 - 6 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{4 + 7 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{4 + 0 - 5 \cdot 0}{5 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$\frac{4 + 0 + 0}{5 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Étape 10.1.3

Additionnez $4 + 0$ et $0$ .

$\frac{4 + 0}{5 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Étape 10.1.4

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{4}{5 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$\frac{4}{5 + 0 + 4 \cdot 0}$

Étape 10.2.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{4}{5 + 0 + 0}$

Étape 10.2.3

Additionnez $5 + 0$ et $0$ .

$\frac{4}{5 + 0}$

Étape 10.2.4

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{4}{5}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4}{5}$

Forme décimale :

$0.8$