Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{2 x + 0}$

Étape 1.3.6

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Étape 1.5

Combinez les facteurs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (2 x)}$

Étape 1.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{2 (x^{1} x)}$

Étape 1.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{2 (x^{1} x^{1})}$

Étape 1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

Étape 1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{2 x^{2}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1^{2}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

Étape 4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$