Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (x)}{x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \arcsin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite de $\arcsin (x)$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\arcsin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.2

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\arcsin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\arcsin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot 1$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 2.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x^{2}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Étape 2.6

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 0^{2}}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 0}}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Étape 4.1.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

Étape 4.1.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 4.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1$