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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Simplifiez l’argument limite.
Étape 1.1.1
Associez et .
Étape 1.1.2
Associez des termes.
Étape 1.1.2.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.1.2.2
Associez et .
Étape 1.1.2.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.2
Multipliez par .
Étape 2
Étape 2.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 2.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 2.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Étape 2.1.2.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.1.2.2
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.
Étape 2.1.2.3
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.1.2.4
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.1.2.5
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.1.2.6
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 2.1.2.7
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Étape 2.1.2.7.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 2.1.2.7.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 2.1.2.8
Simplifiez la réponse.
Étape 2.1.2.8.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.1.2.8.1.1
La valeur exacte de est .
Étape 2.1.2.8.1.2
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 2.1.2.8.1.3
Additionnez et .
Étape 2.1.2.8.1.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.1.2.8.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.8.1.4.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.2.8.1.4.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.2.8.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Étape 2.1.3.1
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 2.1.3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 2.1.3.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 2.1.3.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 2.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 2.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 2.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Étape 2.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 2.3.2
Réécrivez comme .
Étape 2.3.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.3.4
Factorisez à partir de .
Étape 2.3.5
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.3.6
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.7
La dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.8
Évaluez .
Étape 2.3.8.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.8.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.8.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.8.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.8.5
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.8.6
Multipliez par .
Étape 2.3.8.7
Soustrayez de .
Étape 2.3.8.8
Multipliez par .
Étape 2.3.8.9
Associez et .
Étape 2.3.8.10
Associez et .
Étape 2.3.8.11
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.3.8.11.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.3.8.11.2
Divisez par .
Étape 2.3.9
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 2.3.10
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 4
Étape 4.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 4.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 4.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Étape 4.1.2.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 4.1.2.2
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.
Étape 4.1.2.3
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Étape 4.1.2.3.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 4.1.2.3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 4.1.2.4
Simplifiez la réponse.
Étape 4.1.2.4.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.1.2.4.1.1
La valeur exacte de est .
Étape 4.1.2.4.1.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.4.2
Additionnez et .
Étape 4.1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Étape 4.1.3.1
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 4.1.3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 4.1.3.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 4.1.3.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 4.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 4.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 4.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Étape 4.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 4.3.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.3.4
Évaluez .
Étape 4.3.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.4.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.5
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 6
Étape 6.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 6.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 6.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Étape 6.1.2.1
Évaluez la limite.
Étape 6.1.2.1.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 6.1.2.1.2
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 6.1.2.1.3
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.
Étape 6.1.2.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 6.1.2.3
Simplifiez la réponse.
Étape 6.1.2.3.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 6.1.2.3.1.1
La valeur exacte de est .
Étape 6.1.2.3.1.2
Multipliez par .
Étape 6.1.2.3.2
Soustrayez de .
Étape 6.1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Étape 6.1.3.1
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 6.1.3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 6.1.3.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 6.1.3.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 6.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 6.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 6.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Étape 6.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 6.3.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 6.3.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 6.3.4
Évaluez .
Étape 6.3.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 6.3.4.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 6.3.4.3
Multipliez par .
Étape 6.3.4.4
Multipliez par .
Étape 6.3.5
Additionnez et .
Étape 6.3.6
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 7
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 8
Comme et , appliquez le théorème des gendarmes.
Étape 9
Étape 9.1
Multipliez .
Étape 9.1.1
Multipliez par .
Étape 9.1.2
Multipliez par .
Étape 9.2
Multipliez .
Étape 9.2.1
Multipliez par .
Étape 9.2.2
Multipliez par .
Étape 9.3
Multipliez par .
Étape 10
Le résultat peut être affiché en différentes formes.
Forme exacte :
Forme décimale :