Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 + \frac{1}{2} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Étape 1.1.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.2

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 1 \cdot 2 + x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Étape 1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Étape 2.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Étape 2.1.2.3

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} lim_{x \to 0} - 2 + x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Étape 2.1.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} (- lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Étape 2.1.2.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} (- 1 \cdot 2 + lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Étape 2.1.2.6

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} (- 2 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Étape 2.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\cos (0) + \frac{1}{2} (- 2 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Étape 2.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\cos (0) + \frac{1}{2} (- 2 + 0^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Étape 2.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.8.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2} (- 2 + 0^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Étape 2.1.2.8.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2} (- 2 + 0)}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Étape 2.1.2.8.1.3

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2} \cdot - 2}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Étape 2.1.2.8.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.8.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Étape 2.1.2.8.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Étape 2.1.2.8.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Étape 2.1.2.8.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4}}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{4}}$

Étape 2.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{x^{4}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 1 (2) + x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 1 (2) - 1 (- x^{2})}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - 1 (- x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 1 (2 - x^{2})}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \frac{2 - x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) - \frac{2 - x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.7

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]$ .

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Étape 2.3.8.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 - x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.8.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.8.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.8.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 - (2 x))}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.8.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.8.7

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (- 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.8.8

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 2 (\frac{1}{2}) x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.8.9

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{2}{2} x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.8.10

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.8.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.8.11.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.8.11.2

Divisez $x$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{4 x^{3}}$

Étape 3

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x^{3}}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 4.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 4.1.2.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 4.1.2.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.4.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 4.1.2.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 4.1.2.4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Étape 4.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0^{3}}$

Étape 4.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 4.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 4.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 4.3.4.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 4.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{3 x^{2}}$

Étape 5

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 6

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 6.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 6.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 6.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 6.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 6.1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 6.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 6.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 6.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 6.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 6.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 6.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0^{2}}$

Étape 6.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

Étape 6.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

Étape 6.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

Étape 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 6.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 6.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 6.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 6.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 6.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 6.3.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 6.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 6.3.4.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 6.3.5

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 6.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x}$

Étape 7

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Étape 8

Comme $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ et $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , appliquez le théorème des gendarmes.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 9.1.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 9.1.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 9.2

Multipliez $\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 9.2.1

Multipliez $\frac{1}{12}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{12 \cdot 2} \cdot 1$

Étape 9.2.2

Multipliez $12$ par $2$ .

$\frac{1}{24} \cdot 1$

Étape 9.3

Multipliez $\frac{1}{24}$ par $1$ .

$\frac{1}{24}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{24}$

Forme décimale :

$0.041\overline{6}$