Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer la limite limite lorsque x approche de 0 de (cos(x)-1+1/2x^2)/(x^4)
Étape 1
Simplifiez les termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Simplifiez l’argument limite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.1
Associez et .
Étape 1.1.2
Associez des termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.2.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.1.2.2
Associez et .
Étape 1.1.2.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.2
Multipliez par .
Étape 2
Appliquez la Règle de l’Hôpital.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 2.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.1.2.2
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.
Étape 2.1.2.3
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 2.1.2.4
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 2.1.2.5
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 2.1.2.6
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 2.1.2.7
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.7.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 2.1.2.7.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 2.1.2.8
Simplifiez la réponse.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.8.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.8.1.1
La valeur exacte de est .
Étape 2.1.2.8.1.2
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 2.1.2.8.1.3
Additionnez et .
Étape 2.1.2.8.1.4
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.2.8.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.2.8.1.4.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.1.2.8.1.4.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.1.2.8.2
Soustrayez de .
Étape 2.1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.3.1
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 2.1.3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 2.1.3.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 2.1.3.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 2.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 2.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 2.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 2.3.2
Réécrivez comme .
Étape 2.3.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.3.4
Factorisez à partir de .
Étape 2.3.5
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.3.6
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.7
La dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.8
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.8.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.8.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.8.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.8.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.8.5
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 2.3.8.6
Multipliez par .
Étape 2.3.8.7
Soustrayez de .
Étape 2.3.8.8
Multipliez par .
Étape 2.3.8.9
Associez et .
Étape 2.3.8.10
Associez et .
Étape 2.3.8.11
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.8.11.1
Annulez le facteur commun.
Étape 2.3.8.11.2
Divisez par .
Étape 2.3.9
Remettez les termes dans l’ordre.
Étape 2.3.10
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 3
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 4
Appliquez la Règle de l’Hôpital.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 4.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 4.1.2.2
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.
Étape 4.1.2.3
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.3.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 4.1.2.3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 4.1.2.4
Simplifiez la réponse.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.4.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.2.4.1.1
La valeur exacte de est .
Étape 4.1.2.4.1.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.4.2
Additionnez et .
Étape 4.1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.1.3.1
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 4.1.3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 4.1.3.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 4.1.3.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 4.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 4.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 4.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 4.3.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.3.4
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.3.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.4.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 4.3.5
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 5
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 6
Appliquez la Règle de l’Hôpital.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 6.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1.2.1
Évaluez la limite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1.2.1.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 6.1.2.1.2
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 6.1.2.1.3
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.
Étape 6.1.2.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 6.1.2.3
Simplifiez la réponse.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1.2.3.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1.2.3.1.1
La valeur exacte de est .
Étape 6.1.2.3.1.2
Multipliez par .
Étape 6.1.2.3.2
Soustrayez de .
Étape 6.1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.1.3.1
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 6.1.3.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 6.1.3.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 6.1.3.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 6.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 6.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 6.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 6.3.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 6.3.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 6.3.4
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 6.3.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 6.3.4.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 6.3.4.3
Multipliez par .
Étape 6.3.4.4
Multipliez par .
Étape 6.3.5
Additionnez et .
Étape 6.3.6
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 7
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 8
Comme et , appliquez le théorème des gendarmes.
Étape 9
Simplifiez la réponse.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.1.1
Multipliez par .
Étape 9.1.2
Multipliez par .
Étape 9.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 9.2.1
Multipliez par .
Étape 9.2.2
Multipliez par .
Étape 9.3
Multipliez par .
Étape 10
Le résultat peut être affiché en différentes formes.
Forme exacte :
Forme décimale :