Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (a + x) - \cos (a - x)}{x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (a + x) - \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (a + x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} a + x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez la limite de $a$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.7

Évaluez la limite de $a$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.8

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\cos (a + 0) - \cos (a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\cos (a + 0) - \cos (a + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.9

Associez les termes opposés dans $\cos (a + 0) - \cos (a + 0)$ .

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Étape 1.1.2.9.1

Additionnez $a$ et $0$ .

$\frac{\cos (a) - \cos (a + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.9.2

Additionnez $a$ et $0$ .

$\frac{\cos (a) - \cos (a)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.9.3

Soustrayez $\cos (a)$ de $\cos (a)$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (a + x) - \cos (a - x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x) - \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x) - \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (a + x) - \cos (a - x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (a + x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (a + x)]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = a + x$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $a + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.1.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $a + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.3

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (a - x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (a - x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \frac{d}{d x} [\cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = a - x$ .

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Étape 1.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $a - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $a - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.4

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.8

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (1 \sin (a - x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.10

Multipliez $\sin (a - x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \sin (a - x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \sin (a - x)}{1}$

Étape 1.4

Divisez $- \sin (a + x) - \sin (a - x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} - \sin (a + x) - \sin (a - x)$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- lim_{x \to 0} \sin (a + x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Étape 2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- \sin (lim_{x \to 0} a + x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \sin (lim_{x \to 0} a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $a$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

Étape 2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} a - x)$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} a - lim_{x \to 0} x)$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $a$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (a - lim_{x \to 0} x)$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \sin (a + 0) - \sin (a - lim_{x \to 0} x)$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \sin (a + 0) - \sin (a + 0)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez les termes opposés dans $- \sin (a + 0) - \sin (a + 0)$ .

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Étape 4.1.1

Additionnez $a$ et $0$ .

$- \sin (a) - \sin (a + 0)$

Étape 4.1.2

Additionnez $a$ et $0$ .

$- \sin (a) - \sin (a)$

Étape 4.2

Soustrayez $\sin (a)$ de $- \sin (a)$ .

$- 2 \sin (a)$