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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Réécrivez comme .
Étape 1.2
Développez en déplaçant hors du logarithme.
Étape 2
Définissez la limite comme une limite côté gauche.
Étape 3
Étape 3.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.2
Multipliez par .
Étape 3.3
La valeur exacte de est .
Étape 3.4
Comme est indéfini, la limite n’existe pas.
Étape 4
Définissez la limite comme une limite côté droit.
Étape 5
Étape 5.1
Placez la limite dans l’exposant.
Étape 5.2
Réécrivez comme .
Étape 5.3
Appliquez la Règle de l’Hôpital.
Étape 5.3.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 5.3.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 5.3.1.2
Lorsque approche de depuis le côté droit, diminue sans borne.
Étape 5.3.1.3
Comme le numérateur est une constante et le dénominateur approche de lorsque approche de par la droite, la fraction approche de l’infini.
Étape 5.3.1.4
L’infini divisé l’infini est indéfini.
Indéfini
Étape 5.3.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 5.3.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Étape 5.3.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 5.3.3.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 5.3.3.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 5.3.3.2.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 5.3.3.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 5.3.3.3
Réécrivez en termes de sinus et de cosinus.
Étape 5.3.3.4
Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par .
Étape 5.3.3.5
Écrivez comme une fraction avec le dénominateur .
Étape 5.3.3.6
Simplifiez
Étape 5.3.3.6.1
Réécrivez l’expression.
Étape 5.3.3.6.2
Multipliez par .
Étape 5.3.3.7
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 5.3.3.7.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 5.3.3.7.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 5.3.3.7.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 5.3.3.8
Associez et .
Étape 5.3.3.9
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.3.3.10
Associez et .
Étape 5.3.3.11
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5.3.3.12
Multipliez par .
Étape 5.3.3.13
Simplifiez
Étape 5.3.3.13.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 5.3.3.13.1.1
Réécrivez en termes de sinus et de cosinus.
Étape 5.3.3.13.1.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 5.3.3.13.1.3
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 5.3.3.13.1.4
Associez et .
Étape 5.3.3.13.1.5
Annulez le facteur commun de .
Étape 5.3.3.13.1.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.3.3.13.1.5.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.3.3.13.1.5.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.3.3.13.2
Associez des termes.
Étape 5.3.3.13.2.1
Réécrivez comme un produit.
Étape 5.3.3.13.2.2
Multipliez par .
Étape 5.3.3.14
Réécrivez comme .
Étape 5.3.3.15
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5.3.3.16
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 5.3.4
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 5.3.5
Associez et .
Étape 5.4
Évaluez la limite.
Étape 5.4.1
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.4.2
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.5
Appliquez la Règle de l’Hôpital.
Étape 5.5.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 5.5.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 5.5.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Étape 5.5.1.2.1
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 5.5.1.2.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 5.5.1.2.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 5.5.1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Étape 5.5.1.3.1
Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 5.5.1.3.2
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.
Étape 5.5.1.3.3
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.5.1.3.4
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.
Étape 5.5.1.3.5
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.5.1.3.6
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Étape 5.5.1.3.6.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 5.5.1.3.6.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 5.5.1.3.7
Simplifiez la réponse.
Étape 5.5.1.3.7.1
Multipliez par .
Étape 5.5.1.3.7.2
La valeur exacte de est .
Étape 5.5.1.3.7.3
Multipliez par .
Étape 5.5.1.3.7.4
Multipliez par .
Étape 5.5.1.3.7.5
La valeur exacte de est .
Étape 5.5.1.3.7.6
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 5.5.1.3.8
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 5.5.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 5.5.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 5.5.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Étape 5.5.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 5.5.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5.5.3.3
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est où et .
Étape 5.5.3.4
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 5.5.3.4.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 5.5.3.4.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 5.5.3.4.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 5.5.3.5
Élevez à la puissance .
Étape 5.5.3.6
Élevez à la puissance .
Étape 5.5.3.7
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.5.3.8
Additionnez et .
Étape 5.5.3.9
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.5.3.10
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5.5.3.11
Multipliez par .
Étape 5.5.3.12
Déplacez à gauche de .
Étape 5.5.3.13
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 5.5.3.13.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 5.5.3.13.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 5.5.3.13.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 5.5.3.14
Élevez à la puissance .
Étape 5.5.3.15
Élevez à la puissance .
Étape 5.5.3.16
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.5.3.17
Additionnez et .
Étape 5.5.3.18
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.5.3.19
Multipliez par .
Étape 5.5.3.20
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5.5.3.21
Multipliez par .
Étape 5.6
Évaluez la limite.
Étape 5.6.1
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.6.2
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 5.6.3
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 5.6.4
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.6.5
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 5.6.6
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.
Étape 5.6.7
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.6.8
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.6.9
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 5.6.10
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.
Étape 5.6.11
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.7
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Étape 5.7.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 5.7.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 5.7.3
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 5.8
Simplifiez la réponse.
Étape 5.8.1
Multipliez par .
Étape 5.8.2
Annulez le facteur commun à et .
Étape 5.8.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.8.2.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 5.8.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.8.2.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 5.8.2.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 5.8.2.2.4
Annulez le facteur commun.
Étape 5.8.2.2.5
Réécrivez l’expression.
Étape 5.8.3
Simplifiez le dénominateur.
Étape 5.8.3.1
Multipliez par .
Étape 5.8.3.2
La valeur exacte de est .
Étape 5.8.3.3
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 5.8.3.4
Multipliez par .
Étape 5.8.3.5
La valeur exacte de est .
Étape 5.8.3.6
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 5.8.3.7
Multipliez par .
Étape 5.8.3.8
Additionnez et .
Étape 5.8.4
Divisez par .
Étape 5.8.5
Multipliez par .
Étape 5.9
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 6
Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.