Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer la limite limite lorsque x approche de 0 de tan(9x)^x
Étape 1
Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Réécrivez comme .
Étape 1.2
Développez en déplaçant hors du logarithme.
Étape 2
Définissez la limite comme une limite côté gauche.
Étape 3
Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 3.2
Multipliez par .
Étape 3.3
La valeur exacte de est .
Étape 3.4
Comme est indéfini, la limite n’existe pas.
Étape 4
Définissez la limite comme une limite côté droit.
Étape 5
Évaluez la limite côté droit.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Placez la limite dans l’exposant.
Étape 5.2
Réécrivez comme .
Étape 5.3
Appliquez la Règle de l’Hôpital.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 5.3.1.2
Lorsque approche de depuis le côté droit, diminue sans borne.
Étape 5.3.1.3
Comme le numérateur est une constante et le dénominateur approche de lorsque approche de par la droite, la fraction approche de l’infini.
Étape 5.3.1.4
L’infini divisé l’infini est indéfini.
Indéfini
Étape 5.3.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 5.3.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 5.3.3.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.3.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 5.3.3.2.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 5.3.3.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 5.3.3.3
Réécrivez en termes de sinus et de cosinus.
Étape 5.3.3.4
Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par .
Étape 5.3.3.5
Écrivez comme une fraction avec le dénominateur .
Étape 5.3.3.6
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.3.6.1
Réécrivez l’expression.
Étape 5.3.3.6.2
Multipliez par .
Étape 5.3.3.7
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.3.7.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 5.3.3.7.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 5.3.3.7.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 5.3.3.8
Associez et .
Étape 5.3.3.9
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.3.3.10
Associez et .
Étape 5.3.3.11
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 5.3.3.12
Multipliez par .
Étape 5.3.3.13
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.3.13.1
Simplifiez le numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.3.13.1.1
Réécrivez en termes de sinus et de cosinus.
Étape 5.3.3.13.1.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 5.3.3.13.1.3
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 5.3.3.13.1.4
Associez et .
Étape 5.3.3.13.1.5
Annulez le facteur commun de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.3.13.1.5.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.3.3.13.1.5.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.3.3.13.1.5.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.3.3.13.2
Associez des termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.3.3.13.2.1
Réécrivez comme un produit.
Étape 5.3.3.13.2.2
Multipliez par .
Étape 5.3.3.14
Réécrivez comme .
Étape 5.3.3.15
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 5.3.3.16
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 5.3.4
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 5.3.5
Associez et .
Étape 5.4
Évaluez la limite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.4.1
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.4.2
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.5
Appliquez la Règle de l’Hôpital.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 5.5.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.1.2.1
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 5.5.1.2.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 5.5.1.2.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 5.5.1.3
Évaluez la limite du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.1.3.1
Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 5.5.1.3.2
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.
Étape 5.5.1.3.3
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.5.1.3.4
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.
Étape 5.5.1.3.5
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.5.1.3.6
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.1.3.6.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 5.5.1.3.6.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 5.5.1.3.7
Simplifiez la réponse.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.1.3.7.1
Multipliez par .
Étape 5.5.1.3.7.2
La valeur exacte de est .
Étape 5.5.1.3.7.3
Multipliez par .
Étape 5.5.1.3.7.4
Multipliez par .
Étape 5.5.1.3.7.5
La valeur exacte de est .
Étape 5.5.1.3.7.6
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 5.5.1.3.8
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 5.5.1.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 5.5.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 5.5.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 5.5.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 5.5.3.3
Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que est et .
Étape 5.5.3.4
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.3.4.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 5.5.3.4.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 5.5.3.4.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 5.5.3.5
Élevez à la puissance .
Étape 5.5.3.6
Élevez à la puissance .
Étape 5.5.3.7
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.5.3.8
Additionnez et .
Étape 5.5.3.9
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.5.3.10
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 5.5.3.11
Multipliez par .
Étape 5.5.3.12
Déplacez à gauche de .
Étape 5.5.3.13
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.5.3.13.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 5.5.3.13.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 5.5.3.13.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 5.5.3.14
Élevez à la puissance .
Étape 5.5.3.15
Élevez à la puissance .
Étape 5.5.3.16
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.5.3.17
Additionnez et .
Étape 5.5.3.18
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.5.3.19
Multipliez par .
Étape 5.5.3.20
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 5.5.3.21
Multipliez par .
Étape 5.6
Évaluez la limite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.6.1
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.6.2
Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 5.6.3
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 5.6.4
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.6.5
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 5.6.6
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.
Étape 5.6.7
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.6.8
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.6.9
Déplacez l’exposant de hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.
Étape 5.6.10
Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.
Étape 5.6.11
Placez le terme hors de la limite car il constant par rapport à .
Étape 5.7
Évaluez les limites en insérant pour toutes les occurrences de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.7.1
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 5.7.2
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 5.7.3
Évaluez la limite de en insérant pour .
Étape 5.8
Simplifiez la réponse.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.8.1
Multipliez par .
Étape 5.8.2
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.8.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.8.2.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.8.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.8.2.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 5.8.2.2.3
Factorisez à partir de .
Étape 5.8.2.2.4
Annulez le facteur commun.
Étape 5.8.2.2.5
Réécrivez l’expression.
Étape 5.8.3
Simplifiez le dénominateur.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.8.3.1
Multipliez par .
Étape 5.8.3.2
La valeur exacte de est .
Étape 5.8.3.3
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 5.8.3.4
Multipliez par .
Étape 5.8.3.5
La valeur exacte de est .
Étape 5.8.3.6
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 5.8.3.7
Multipliez par .
Étape 5.8.3.8
Additionnez et .
Étape 5.8.4
Divisez par .
Étape 5.8.5
Multipliez par .
Étape 5.9
Tout ce qui est élevé à la puissance est .
Étape 6
Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.