Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\arctan (8 x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \arctan (8 x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \arctan (8 x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.2

Remplacez $8 x$ par $t$ et laissez $t$ approcher de $0$ car $lim_{x \to 0} 8 x = 0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \arctan (t)}$

Étape 1.1.3.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 1.1.3.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\arctan (0)}$

Étape 1.1.3.3.2

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\arctan (8 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (8 x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\arctan (8 x)]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\arctan (8 x)]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = 8 x$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 1.3.3.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + {(8 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 1.3.4

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + {(8 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 1.3.5

Appliquez la règle de produit à $8 (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 8^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 1.3.6

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 1.3.7

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + 64 x^{2}} (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 1.3.8

Associez $8$ et $\frac{1}{1 + 64 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{1 + 64 x^{2}} \cdot 1}$

Étape 1.3.10

Multipliez $\frac{8}{1 + 64 x^{2}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{1 + 64 x^{2}}}$

Étape 1.3.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{8}{64 x^{2} + 1}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} 1 \frac{64 x^{2} + 1}{8}$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{64 x^{2} + 1}{8}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{64 x^{2} + 1}{8}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{8}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} 64 x^{2} + 1$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{8} (lim_{x \to 0} 64 x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Étape 2.3

Placez le terme $64$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{8} (64 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{8} (64 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{8} (64 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{8} (64 \cdot 0^{2} + 1)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{8} (64 \cdot 0 + 1)$

Étape 4.1.2

Multipliez $64$ par $0$ .

$\frac{1}{8} (0 + 1)$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot 1$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $1$ .

$\frac{1}{8}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{8}$

Forme décimale :

$0.125$