Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (3 x)}{\tan (5 x)}$

Étape 1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (5 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (3 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Étape 1.2

Réécrivez $\tan (3 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Étape 1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Convertissez de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ à $\tan (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (3 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Étape 1.4.2

Convertissez de $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ à $\cot (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (3 x) \cot (5 x)$

Étape 2

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (3 x) \cot (5 x)$

Étape 3

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\tan (3 x) \cot (5 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & \tan (3 x) \cot (5 x) \\ - 0.1 & 0.5662362 \\ - 0.01 & 0.59967983 \\ - 0.001 & 0.59999679 \end{array}$

Étape 4

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $0.6$ . Ainsi, la limite de $\tan (3 x) \cot (5 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté gauche est $0.6$ .

$0.6$

Étape 5

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (3 x) \cot (5 x)$

Étape 6

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\tan (3 x) \cot (5 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & \tan (3 x) \cot (5 x) \\ 0.1 & 0.5662362 \\ 0.01 & 0.59967983 \\ 0.001 & 0.59999679 \end{array}$

Étape 7

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $0.6$ . Ainsi, la limite de $\tan (3 x) \cot (5 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit est $0.6$ .

$0.6$