Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\sin (8 x)}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur par $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cdot (8 x)}{\sin (8 x) \cdot (8 x)}$

Étape 2

Multipliez le numérateur et le dénominateur par $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cdot (8 x) \cdot (3 x)}{3 x \cdot \sin (8 x) \cdot (8 x)}$

Étape 3

Séparez les fractions.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{3 x} \cdot \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot \frac{3 x}{8 x}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{3 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5

La limite de $\frac{\sin (3 x)}{3 x}$ lorsque $x$ approche de $0$ est $1$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 3 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.1.2.1.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.3.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 5.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [3 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [3 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [3 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.3.7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{3 \frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{3 \cdot 1} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.3.9

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{3} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.4

Évaluez la limite.

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{3} \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.4.1.2

Divisez $\cos (3 x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.4.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.4.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\cos (3 \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.6.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\cos (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 5.6.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6

La limite de $\frac{8 x}{\sin (8 x)}$ lorsque $x$ approche de $0$ est $1$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$1 \cdot \frac{lim_{x \to 0} 8 x}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 6.1.2.1

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$1 \cdot \frac{8 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$1 \cdot \frac{8 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.1.2.3

Multipliez $8$ par $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 6.1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$1 \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.1.3.1.2

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (8 lim_{x \to 0} x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (8 \cdot 0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1.3.3.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\sin (8 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Étape 6.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 6.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.3.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.3.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 8 x$ .

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Étape 6.3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.3.5.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8}{\cos (u) \frac{d}{d x} [8 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8}{\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.3.6

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8}{\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8}{\cos (8 x) (8 \cdot 1)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.3.8

Multipliez $8$ par $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8}{\cos (8 x) \cdot 8} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.3.9

Déplacez $8$ à gauche de $\cos (8 x)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8}{8 \cos (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{8}{8 \cos (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (8 x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (8 x)}$ à $\sec (8 x)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \sec (8 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.6

Évaluez la limite.

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Étape 6.6.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$1 \cdot \sec (lim_{x \to 0} 8 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.6.2

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$1 \cdot \sec (8 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.7

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$1 \cdot \sec (8 \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.8.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$1 \cdot \sec (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 6.8.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3 x}{8 x}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{3}{8}$

Étape 8

Évaluez la limite de $\frac{3}{8}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{8}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 \cdot \frac{3}{8}$

Étape 9.2

Multipliez $\frac{3}{8}$ par $1$ .

$\frac{3}{8}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{8}$

Forme décimale :

$0.375$