Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} - 4^{x}}{x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{x} - 4^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{x} - lim_{x \to 0} 4^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - 4^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3^{0} - 4^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3^{0} - 4^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.5.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 4^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.5.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} - 4^{x}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{x} - 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{x} - 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3^{x} - 4^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [- 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4^{x}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [4^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) - \frac{d}{d x} [4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)}{1}$

Étape 1.4

Divisez $3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} 3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} 3^{x} \ln (3) - lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4)$

Étape 2.2

Placez le terme $\ln (3)$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\ln (3) lim_{x \to 0} 3^{x} - lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4)$

Étape 2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\ln (3) \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4)$

Étape 2.4

Placez le terme $\ln (4)$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\ln (3) \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} - \ln (4) lim_{x \to 0} 4^{x}$

Étape 2.5

Placez la limite dans l’exposant.

$\ln (3) \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} - \ln (4) \cdot 4^{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\ln (3) \cdot 3^{0} - \ln (4) \cdot 4^{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\ln (3) \cdot 3^{0} - \ln (4) \cdot 4^{0}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\ln (3) \cdot 1 - \ln (4) \cdot 4^{0}$

Étape 4.1.2

Multipliez $\ln (3)$ par $1$ .

$\ln (3) - \ln (4) \cdot 4^{0}$

Étape 4.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\ln (3) - \ln (4) \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (3) - \ln (4)$

Étape 4.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{3}{4})$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (\frac{3}{4})$

Forme décimale :

$- 0.28768207 \dots$